专题21.2 一元二次方程的解法【八大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 21.2 一元二次方程的解法【八大题型】
【人教版】
【题型 1 用直接开平方法解一元二次方程】...........................................................................................................1
【题型 2 用配方法解一元二次方程】........................................................................................................................2
【题型 3 用公式法解一元二次方程】........................................................................................................................4
【题型 4 用因式分解法解一元二次方程】................................................................................................................5
【题型 5 用指定方法解一元二次方程】....................................................................................................................6
【题型 6 用适当的方法解一元二次方程】..............................................................................................................12
【题型 7 用换元法解一元二次方程】......................................................................................................................14
【题型 8 配方法的应用】..........................................................................................................................................17
【知识点 1 直接开平方法解一元二次方程】
根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.
直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为
x2=p(p ≥ 0)
或
(mx+n)2=p(p ≥0, m ≠0)
的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.
【题型 1 用直接开平方法解一元二次方程】
【例 1】（2022•建华区二模）解方程：
−1
3
（x2﹣）2
+3
4=¿
0（开平方法）．
【分析】先把方程变形为（x2﹣）2
¿9
4
，再两边开方得到 x2﹣＝±
3
2
，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：
−1
3
（x2﹣）2
+3
4=¿
0，
−1
3
（x2﹣）2
，
（x2﹣）2
¿9
4
，
x2﹣＝±
3
2
，
所以 x1
¿7
2
，x2
¿1
2
．
【变式 1-1】（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2（开平方法）．
【分析】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．
【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，
开方得：2x+3＝3x+2 或2x+3＝﹣3x2﹣，
解得：x1＝1，x2＝﹣1．
【变式 1-2】（2021 秋•徐汇区校级月考）解方程：4（x+1）29﹣（x2﹣）2＝0（开平方法）．
【分析】直接开方，再解一元一次方程即可．
【解答】解：4（x+1）2＝9（x2﹣）2，
∴2（x+1）＝±3（x2﹣），
∴x1＝8，x2
¿4
5
．
【变式 1-3】（2022 春•黄浦区校级期中）解关于 x的方程：x23﹣＝1+ax2（a≠1）（开平方法）．
【分析】方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．
【解答】解：方程整理得：（a1﹣）x2＝﹣4，即 x2
¿4
1−a
，
当1﹣a＞0，即 a＜1时，x＝±
❑
√
4
1−a=¿
±
2❑
√
1−a
1−a
；
当1﹣a＜0，即 a＞1时，无解．
【知识点 2 配方法解一元二次方程】
将一元二次方程配成
(x+m)2=n
的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为
ax2+bx +c=0(a ≠ 0)
的形式；②方程两边同除以二
次项系数，使二次项系数为 1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④
把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法
来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
【题型 2 用配方法解一元二次方程】
【例 2】（2022 春•淄川区期中）（1）请用配方法解方程 2x26﹣x+3＝0；
（2）请用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）．
【分析】（1）方程二次项系数化为 1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完
全平方公式变形，开方即可求出解；
（2）方程二次项系数化为 1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半系数平方，利用完全平方公
式变形，开方即可求出解．
【解答】解：（1）方程整理得：x23﹣x
¿−3
2
，
配方得：x23﹣x
+9
4=9
4−3
2
，即（x
−3
2
）2
¿3
4
，
开方得：x
−3
2=¿
±
❑
√
3
2
，
解得：x1
¿3
2+❑
√
3
2
，x2
¿3
2−❑
√
3
2
；
（2）方程整理得：x2
+b
a
x
¿−c
a
，
配方得：x2
+b
a
x
+b2
4a2=b2
4a2−c
a
，即（x
+b
2a
）2
¿b2−4ac
4a2
，
开方得：x
+b
2a=¿
±
❑
√
b2−4ac
2a
，
解得：x1
¿−b+❑
√
b2−4ac
2a
，x2
¿−b−❑
√
b2−4ac
2a
．
【变式 2-1】（2022 秋•松江区期末）用配方法解方程：
x2−2❑
√
5x=4
．
【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【解答】解：∵
x2−2❑
√
5x=4
，
∴x22﹣
❑
√
5
x+5＝4+5，即（x
−❑
√
5
）2＝9，
∴x
−❑
√
5=¿
3或x
−❑
√
5=−¿
3，
∴x1＝3
+❑
√
5
，x2＝﹣3
+❑
√
5
．
【变式 2-2】（2022 秋•伊川县期中）用配方法解方程：4x28﹣x7﹣＝0．
【分析】根据配方法的步骤先把二次项系数化为 1，再在等式左右两边同时加上一次项系数的一半的平
方，然后开方即可．
【解答】解：4x28﹣x7﹣＝0，
4x28﹣x＝7，
x22﹣x
¿7
4
，
配方得 x22﹣x+12
¿7
4+¿
1，
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