专题21.1 一元二次方程的定义及解【八大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题 21.1 一元二次方程的定义及解【八大题型】

【人教版】

【题型 1 一元二次方程的识别】................................................................................................................................9

【题型 2 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】.........................................................................................11

【题型 3 由一元二次方程的定义求字母的值】.....................................................................................................12

【题型 4 一元二次方程的一般形式】......................................................................................................................13

【题型 5 由一元二次方程的解求字母的值】.........................................................................................................14

【题型 6 由一元二次方程的解求代数式的值】.....................................................................................................15

【题型 7 由一元二次方程的解求代数式的值（降次）】.....................................................................................17

【题型 8 已知一元二次方程的根求另一方程的根】.............................................................................................18

【知识点 1 一元二次方程的定义】

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是

的整式方程，叫做一元二次方程.

【题型 1 一元二次方程的识别】

【例 1】（2021 秋•恩施市期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　）

①3x2+7＝0：②ax2+bx+c＝0；③（x2﹣）（x+5）＝x21﹣；④3x

−1

x=¿

0．

A．①B．①② C．①②③ D．①②③④

【分析】根据一元二次方程的定义判断即可，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方

程叫一元二次方程．

【解答】解：①3x2+7＝0一定是一元二次方程；

②ax2+bx+c＝0，当 a＝0时不是一元二次方程；

③（x2﹣）（x+5）＝x21﹣整理得，3x9﹣＝0，是一元一次方程；

④3x

−1

x=¿

0是分式方程．

故选：A．

【变式 1-1】（2021 秋•蓬溪县期末）下列方程中，一元二次方程有（　　）

①3x2+x＝20；②2x23﹣xy+4＝0；③

x2−1

x=4

；④x2＝1；⑤

x2−x

3+3=0

A．2个B．3个C．4个D．5个

【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．

一元二次方程必须满足四个条件：

（1）未知数的最高次数是 2；

（2）二次项系数不为 0；

（3）是整式方程；

（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

【解答】解：①符合一元二次方程定义，正确；

②方程含有两个未知数，错误；

③不是整式方程，错误；

④符合一元二次方程定义，正确；

⑤符合一元二次方程定义，正确．

故选：B．

【变式 1-2】（2021 秋•荥阳市校级月考）下列方程中，一定是关于 x的一元二次方程的有（　　）

①x2＝0； ②ax2+bx+c＝0； ③a2+a﹣x＝0； ④（x+1）2＝2x29﹣； ⑤x2﹣y2＝3．

A．2个B．3个C．4个D．5个

【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．

【解答】解：①x2＝0是一元二次方程，符合题意；

②ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程，不符合题意；

③a2+a﹣x＝0是二元二次方程，不符合题意；

④（x+1）2＝2x29﹣是一元二次方程，符合题意；

⑤x2﹣y2＝3是二元二次方程，不符合题意意．

故选：A．

【变式 1-3】（2021 秋•义马市期中）下列方程：①y2+2x＝0；②x2＝0；③（x21﹣）2＝1；④3y22﹣y

＝﹣1；⑤2x25﹣xy+3y2＝0；⑥ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数）；⑦

x2+1

x−¿

2＝0；⑧（x+1）（x

1﹣）＝x21﹣．其中属于一元二次方程的有（　　）个．

A．2 B．3 C．4 D．6

【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫一元二次方程．

【解答】解：①y2+2x＝0含有两个未知数，不是一元二次方程；

②x2＝0是一元二次方程；

③（x21﹣）2＝1，未知数的最高次数是 4次，不是一元二次方程；

④3y22﹣y＝﹣1是一元二次方程；

⑤2x25﹣xy+3y2＝0含有两个未知数，不是一元二次方程；

⑥ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数），当 a＝0时，不是一元二次方程；

⑦

x2+1

x−¿

2＝0是分式方程；

⑧（x+1）（x1﹣）＝x21﹣，整理后不含未知数，不是一元二次方程．

所以属于一元二次方程的有②④，共 2个．

故选：A．

【题型 2 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】

【例 2】（2021 秋•龙岗区校级期末）关于 x的方程（a2+1）x2+2ax 6﹣＝0是一元二次方程，则 a的取值范

围是（　　）

A．a≠±1 B．a≠0

C．a 为任何实数 D．不存在

【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．

【解答】解：∵关于 x的方程（a2+1）x2+2ax 6﹣＝0是一元二次方程，

可得 a2+1 不可能为 0，

∴a 为任何实数．

故选：C．

【变式 2-1】（2021 秋•河口县期末）已知（m2﹣）xn3﹣nx+2＝0是关于 x的一元二次方程，则（　　）

A．m≠0，n＝2 B．m≠2，n＝2 C．m≠0，n＝3 D．m≠2，n≠0

【分析】根据一元二次方程的定义列出关于 m，n的方程，求出 m，n的值即可．

【解答】解：∵（m2﹣）xn3﹣nx+2＝0是关于 x的一元二次方程，

∴m2≠0﹣，n＝2，

解得 m≠2，n＝2．

故选：B．

【变式 2-2】（2021 秋•龙江县期末）若方程 ax2+2x1﹣＝2x2是关于 x的一元二次方程，则 a的取值范围是

．

【分析】先化成一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的定义得出 a2≠0﹣，求出即可．

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