专题21.1 一元二次方程（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题 21.1 一元二次方程（知识讲解）

【学习目标】

1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义；会把一元二次方程化为一般形式；

2．会把一元二次方程化为一般形式；

3．会用整体思想和降次方法求解或降次.

【要点梳理】

要点一、一元二次方程的有关概念

1．一元二次方程的概念：

　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的整式方

程，叫做一元二次方程．

特别说明：

识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）

未知数的最高次数是 2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：

　　一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，都能化成形如，

这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次

项，b 是一次项系数；c 是常数项．

特别说明：

　　(1)只有当时，方程才是一元二次方程；

　　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时

注意不要漏掉前面的性质符号.

3.一元二次方程的解：

　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次

方程的根.

4.一元二次方程根的重要结论

（1）若 a+b+c=0,则一元二次方程必有一根 x=1；反之也成立，

即若 x=1 是一元二次方程的一个根，则 a+b+c=0.

（2）若 a-b+c=0,则一元二次方程必有一根 x=-1；反之也成

立，即若 x=-1 是一元二次方程的一个根，则 a-b+c=0.

（3）若一元二次方程有一个根 x=0，则 c=0；反之也成立，

若 c=0，则一元二次方程必有一根为 0.

【典型例题】

类型一、一元二次方程的定义

1．已知方程是一元二次方程，求的值．

【答案】4

【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系

数不为 0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可

解：由题意，得

解|m|-2=2 得m=±4，

当m=4 时，m+4=8≠0，

当m=-4 时，m+4=0 不符合题意的要舍去，

m∴的值为 4．

【点拨】本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为 2的整

式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2+bx+c=0（且 a≠0）．特别要注意 a≠0 的条件．

这是在做题过程中容易忽视的知识点．

举一反三：

【变式 1】已知方程 .

（1）当为何值时，此方程为一元二次方程？

（2）当为何值时，此方程为一元一次方程？

【答案】（1）（2）或 2

【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知，二次项系数不等于 0且二次项的次数等于

2，从而可以解答本题；

（2）根据一次方程的定义可解答本题，注意考虑问题一定要全面．

解：(1)∵方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0 为一元二次方程，

∴

解得：m=4，

所以当 m为4时,方程方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0 为一元二次方程；

(2)∵方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0 为一元一次方程，

∴ 或或或

解得，m=5 或m=2，

故当 m为5或2时,方程方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0 为一元一次方程.

【点拨】此题考查一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，解题关键在于掌握各

性质定义.

【变式 2】已知方程 .

（1）当取何值时是一元二次方程？

（2）当取何值时是一元一次方程？

【答案】（1）（2）或－1

【分析】

（1）根据方程中含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程是一元二次方程，

可得答案；

（2）根据方程中含有一个未知数，且未知数的最高次是一次的方程是一元一次方程，

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