专题21.1 二次函数-重难点题型（举一反三）（沪科版）（解析版）-九年级数学上册举一反三系列（沪科版）

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专题 21.1 二次函数-重难点题型

【沪科版】

【知识点 1 二次函数的概念】

一般地，形如 y=

a x2

+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中 x、y是变量，a、b、c

是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=

a x2

+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二

次函数的一般形式．

【知识点 2 二次函数的取值范围】

一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题

有意义．

【题型 1 判断二次函数的个数】

【例 1】（2020 秋•太康县期末）下列函数：①y＝3

−❑

√

3x2

；②y

¿2

；③y＝x（3 5﹣x）；④y＝

（1+2x）（1 2﹣x），是二次函数的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】利用二次函数定义进行分析即可．

【解答】解：①y＝3

−❑

√

3x2

；③y＝x（3 5﹣x）；④y＝（1+2x）（1 2﹣x），是二次函数，共 3个，

故选：C．

【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是

否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项

系数不为 0这个关键条件．

【变式 1-1】（2020•涡阳县一模）已知函数：①y＝2x1﹣；②y＝﹣2x21﹣；③y＝3x32﹣x2；④y＝2x2

﹣x1﹣；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据二次函数定义：一般地，形如 y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函

数进行分析即可．

【解答】解：②④是二次函数，共 2个，

故选：B．

【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握 y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是二次函

数，注意 a≠0 这一条件．

【变式 1-2】（2020 秋•扬州期末）下列函数是关于 x的二次函数的有（　　）

①y＝x（2x1﹣）；②

y=1

；③

y=❑

√

2x2−1

；④y＝ax2+2x（a为任意实数）；⑤y＝（x1﹣）2﹣

x2；⑥y

¿❑

√

x2+x+1

．

A．2个B．3个C．4个D．5个

【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如 y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次

函数进行分析可得答案．

【解答】解：是关于 x的二次函数的有①③，

故选：A．

【点评】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，

若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为 0

这个关键条件．

【变式 1-3】（2020 秋•广汉市期中）观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x+200；④y＝x3

2﹣x；⑤

y=x2−1

x+31

；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中，二次函数有　　．（只填序号）

【分析】根据二次函数的定义可得答案．

【解答】解：这六个式子中，二次函数有：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x+200；

故答案为：①②③．

【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．

【题型 2 利用二次函数的概念求字母的值】

【例 2】（2020 秋•沙坪坝区校级月考）若函数

y=(a+1)x¿a2+1∨¿¿

是关于 x的二次函数，则 a的值为　　．

【分析】根据二次函数定义可得|a2+1|＝2且a+1≠0，求解即可．

【解答】解：∵函数

y=(a+1)x¿a2+1∨¿¿

是关于 x的二次函数，

∴|a2+1|＝2且a+1≠0，

解得 a＝1，

故答案为：1．

【点评】本题考查的是二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如 y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，

a≠0）的函数，叫做二次函数．

【变式 2-1】（2020 秋•肃州区期末）如果函数 y＝（k3﹣）

xk2−3k+2+¿

kx+1 是二次函数，则 k的值是　　．

【分析】利用二次函数定义可得 k23﹣k+2＝2，且 k3≠0﹣，再解出 k的值即可．

【解答】解：由题意得：k23﹣k+2＝2，且 k3≠0﹣，

解得：k＝0，

故答案为：0．

【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如 y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，

叫做二次函数．

【变式 2-2】（2020 秋•江油市校级月考）函数 y＝（m23﹣m+2）x2+mx+1﹣m，则当 m＝　　时，它为正

比例函数；当 m＝　　时，它为一次函数；当 m　

　时，它为二次函数．

【分析】首先解方程，进而利用正比例函数、一次函数与二次函数的定义得出答案．

【解答】解：m23﹣m+2＝0，

则（m1﹣）（m2﹣）＝0，

解得：m1＝1，m2＝2，

故m≠1 且m≠2 时，它为二次函数；当 m＝1或2时，它为一次函数，当 m＝1时，它为正比例函数；

故答案为：1；1或2；m≠1 且m≠2

【点评】此题主要考查了一次函数与二次函数的定义，正确解方程是解题关键．

【变式 2-3】（2020 秋•新昌县校级月考）已知函数 y＝（m2+m）

xm2−2m+2

．

（1）当函数是二次函数时，求 m的值；　

　；

（2）当函数是一次函数时，求 m的值．　

　．

【分析】（1）这个式子是二次函数的条件是：m22﹣m+2＝2并且 m2+m≠0；

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