专题16.10二次根式材料阅读探究大题专题30题（重难点培优）-2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典（原卷版）【沪教版】

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2021-2022 学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】
专题 16.10 二次根式材料阅读探究大题专题 30 题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分 100 分，试题共 30 题，解答 30 道．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓
名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题（本大题共 30 小题，共 100 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2020 春•越城区校级月考）点 P（x，y）是平面直角坐标系中的一点，点 A（1，0）为 x轴上的一点．
（1）用二次根式表示点 P与点 A的距离；
（2）当 x＝4，y
¿❑
√
11
时，连接 OP、PA，求 PA+PO；
（3）若点 P位于第二象限，且满足函数表达式 y＝x+1，求
❑
√
x2+❑
√
y2
的值．
2．（2019 春•庐阳区校级期中）观察下列等式：
①
❑
√
2×4+1=¿
3②
❑
√
3×5+1=¿
4③
❑
√
4×6+1=¿
5……
（1）写出式⑤：　 　；
（2）试用含 n（n为自然数，且 n≥1）的等式表示这一规律，并加以验证．
3．（2019 春•沭阳县期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：3+2
❑
√
2=¿
，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b
❑
√
2=¿
（其中 a、b、m、n均为整数），则有：a+b
，∴a＝m2+2n2，b＝
2mn，这样小明就找到了一种把类似 a+b
❑
√
2
的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1） 当 a、b、m、n均为正整数时，若 a+b
❑
√
3=¿
，用含 m、n的式子分别表示 a、b得 ： a＝
，b＝　 　；
（2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+4
❑
√
3=¿
　 　．
（3）请化简：
❑
√
12−6❑
√
3
4．（2020 春•昭通期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是 2020 年6月份的日
历 ， 我 们 选 择 其 中 被 框 起 的 部 分 ， 将 每 个 框 中 三 个 位 置 上 的 数 作 如 下 计 算 ：
❑
√
92−2×16=❑
√
81 −32=❑
√
49=¿
7，
❑
√
2 02−13×27=❑
√
400 −351=❑
√
49=¿
7，不难发现，结果都是
7．
（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；
（2）请你利用整式的运算对以上规律加以证明．
5．（2020 春•霍邱县期末）观察以下等式：
第1个等式：
(❑
√
1+1)(2−❑
√
1)=❑
√
1+1
，
第2个等式：
(❑
√
2+1)(3−❑
√
2)=2❑
√
2+1
，
第3个等式：
(❑
√
3+1)(4−❑
√
3)=3❑
√
3+1
，
第4个等式：
(❑
√
4+1)(5−❑
√
4)=4❑
√
4+1
，
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第 5个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第 n个等式：　 　（用含 n的等式表示），并证明其正确性．
6．（2020 秋•三水区校级期中）在解决问题：“已知 a
¿1
❑
√
2−1
，求 3a26﹣a1﹣的值”．
∵a
¿1
❑
√
2−1=❑
√
2+1
(❑
√
2−1)(❑
√
2+1)=❑
√
2+¿
1，
∴a1﹣
¿❑
√
2
∴（a1﹣）2＝2，
∴a22﹣a＝1，
∴3a26﹣a＝3，
∴3a26﹣a1﹣＝2．
请你根据小明的解答过程，解决下列问题：
（1）化简：
2
2−❑
√
5
；
（2）若 a
¿1
3+2❑
√
2
，求 2a212﹣a1﹣的值．
7．（2018 秋•乐亭县期末）先阅读，再解答
由
(❑
√
5+❑
√
3)(❑
√
5−❑
√
3)=(❑
√
5)2−(❑
√
3)2=¿
2可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二
次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化
去分母中的根号，例如：
1
❑
√
3+❑
√
2=❑
√
3−❑
√
2
(❑
√
3+❑
√
2)(❑
√
3−❑
√
2)=❑
√
3−❑
√
2
，请完成下列问题：
（1）
❑
√
2−
1的有理化因式是　 　；
（2）化去式子分母中的根号：
2
3❑
√
2=¿
　 　，
3
3−❑
√
6=¿
　 　．
（3）
❑
√
2019 −❑
√
2018
　 　
❑
√
2018 −❑
√
2017
（填＞或＜）
（4） 利 用 你 发 现 的 规 律 计 算 下 列 式 子 的 值 ：
(1
❑
√
2+1+1
❑
√
3+❑
√
2+1
❑
√
4+❑
√
3+⋯+1
❑
√
2018+❑
√
2017 )(❑
√
2018+1)
8．（2019 秋•郫都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式
子的平方，如 3+2
❑
√
2=¿
（1
+❑
√
2
）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a
+❑
√
2
b＝（m
+❑
√
2
n）2（其中 a、b、m、n均为正整数），则有 a
+❑
√
2
b＝m2+2n2+2
❑
√
2
mn，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分 a
+❑
√
2
b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当 a、b、m、n均为正整数时，若 a
+❑
√
6
b＝（m
+❑
√
6
n）2，用含 m、n的式子分别表示 a、b，得：
a＝　 　，b＝　 　；
（2）若 a+4
❑
√
3=¿
（m
+❑
√
3
n）2，且 a、m、n均为正整数，求 a的值；
（3）化简：
❑
√
7−❑
√
21+❑
√
80
．
9．（2021 春•长兴县月考）阅读下列材料，解答后面的问题：
在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的
一些运算．如：
①要使二次根式
❑
√
a −2
有意义，则需 a2≥0﹣，解得：a≥2；
②化简：
❑
√
1+1
n2+1
¿¿ ¿
，则需计算 1
+1
n2+1
¿¿
，而 1
+1
n2+1
¿¿
，
所以
❑
√
1+1
n2+1
¿¿ ¿
1
+1
n(n+1)=¿
1
+1
n−1
n+1
．
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