专题16.10二次根式材料阅读探究大题专题30题（重难点培优）-2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【沪教版】

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2021-2022 学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】
专题 16.10 二次根式材料阅读探究大题专题 30 题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分 100 分，试题共 30 题，解答 30 道．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓
名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题（本大题共 30 小题，共 100 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2020 春•越城区校级月考）点 P（x，y）是平面直角坐标系中的一点，点 A（1，0）为 x轴上的一点．
（1）用二次根式表示点 P与点 A的距离；
（2）当 x＝4，y
¿❑
√
11
时，连接 OP、PA，求 PA+PO；
（3）若点 P位于第二象限，且满足函数表达式 y＝x+1，求
❑
√
x2+❑
√
y2
的值．
【分析】（1）利用两点间的距离公式进行解答；
（2）利用两点间的距离公式求得 OP、PA，然后求 PA+PO；
（3）把 y＝x+1 代入所求的代数式进行解答．
【解析】（1）点 P与点 A的距离：
❑
√
¿¿
；
（2）∵x＝4，y
¿❑
√
11
，P（x，y），A（1，0），
∴P（4，
❑
√
11
），
∴PA
¿❑
√
¿¿
2
❑
√
5
，PO
3
❑
√
3
，则
PA+PO＝2
❑
√
5+¿
3
❑
√
3
；
（3）∵点 P位于第二象限，
∴x＜0，y＞0，
又∵y＝x+1，
∴
❑
√
x2+❑
√
y2=¿
|x|+|y|＝﹣x+y＝﹣x+x+1＝1．即
❑
√
x2+❑
√
y2
的值是 1．
2．（2019 春•庐阳区校级期中）观察下列等式：
①
❑
√
2×4+1=¿
3②
❑
√
3×5+1=¿
4③
❑
√
4×6+1=¿
5……
（1）写出式⑤：　
❑
√
6×8+1=7
　；
（2）试用含 n（n为自然数，且 n≥1）的等式表示这一规律，并加以验证．
【分析】（1）根据规律解答即可；
（2）根据完全平方公式以及二次根式的性质解答即可．
【解析】（1）式⑤：
❑
√
6×8+1=7
．
故答案为：
❑
√
6×8+1=7
．
（2）第 n个等式为
❑
√
(n+1)(n+3)+1=¿
n+2．
∵n为自然数，且 n≥1，
∴
❑
√
(n+1)(n+3)+1=❑
√
n2+4n+4=❑
√
¿¿
n+2．
3．（2019 春•沭阳县期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：3+2
❑
√
2=¿
，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b
❑
√
2=¿
（其中 a、b、m、n均为整数），则有：a+b
❑
√
2=m2+2n2+2mn❑
√
2
，∴a＝m2+2n2，b＝
2mn，这样小明就找到了一种把类似 a+b
❑
√
2
的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当 a、b、m、n均为正整数时，若 a+b
❑
√
3=¿
，用含 m、n的式子分别表示 a、b得：a＝　 m 2
+3 n 2
，b＝　 2 mn 　 ；
（2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+4
❑
√
3=¿
　（ 2
+❑
√
3
） 2
　 ．
（3）请化简：
❑
√
12−6❑
√
3
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n
❑
√
3
）2＝m2+3n2+2
❑
√
3
mn，从而可用 m、n表示 a、b；
（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【解析】（1）（m+n
❑
√
3
）2＝m2+3n2+2
❑
√
3
mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn．
故答案为 m2+3n2，2mn；
（2）7+4
❑
√
3=¿
（2
+❑
√
3
）2；
故答案为：（2
+❑
√
3
）2；
（3）∵12 6﹣
❑
√
3=¿
（3
−❑
√
3
）2，
∴
❑
√
12−6❑
√
3=❑
√
¿¿
3
−❑
√
3
．
4．（2020 春•昭通期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是 2020 年6月份的日
历 ， 我 们 选 择 其 中 被 框 起 的 部 分 ， 将 每 个 框 中 三 个 位 置 上 的 数 作 如 下 计 算 ：
❑
√
92−2×16=❑
√
81 −32=❑
√
49=¿
7，
❑
√
2 02−13×27=❑
√
400 −351=❑
√
49=¿
7，不难发现，结果都是
7．
（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；
（2）请你利用整式的运算对以上规律加以证明．
【分析】（1）直接选择一组数据代入计算得出答案；
（2）利用 3个数据之间的关系进而计算得出答案．
【解析】（1）解：答案不唯一，如：
❑
√
172−10 ×24
¿❑
√
289 −240
¿❑
√
49
＝7；
（2）证明：设中间那个数为 n，则：
∵
❑
√
n2−(n− 7)(n+7)
¿❑
√
n2−(n2−49)
¿❑
√
n2− n2+49
¿❑
√
49
＝7，
∴
❑
√
n2−(n− 7)(n+7)=¿
7．
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