专题16.9二次根式的应用大题专练30题（重难点培优）-2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【沪教版】

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2021-2022 学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】
专题 16.9 二次根式的应用大题专练 30 题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分 100 分，试题共 30 题，解答 30 道．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓
名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题（本大题共 30 小题，共 100 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2020 秋•金牛区校级月考）设一个三角形的三边长分别为 a、b、c，P
¿1
2
（a+b+c），则有下列面积
公式：
S
¿❑
√
P(P − a)(P− b)(P −c )
（海伦公式）；
S
¿❑
√
1
4¿¿
（秦九韶公式）．
（1）一个三角形边长依次为 5、6、7，利用两个公式分别求这个三角形的面积；
（2）一个三角形边长依次为
❑
√
5
、
❑
√
6
、
❑
√
7
，利用两个公式分别求这个三角形的面积．
【分析】（1）把 a、b、c的长代入求出 P，进一步代入求得 S即可得解；
（2）把 a、b、c的长代入求出 P，进一步代入求得 S即可得解．
【解析】（1）P
¿1
2×
（5+6+7）＝9，
S
¿❑
√
P(P − a)(P− b)(P −c )=❑
√
9×4×3×2=¿
6
；
S
¿❑
√
1
4¿¿
6
❑
√
6
；
（2）P﹣a
¿1
2
（
❑
√
5+❑
√
6+❑
√
7
）
−❑
√
5=1
2
（
❑
√
6+❑
√
7−❑
√
5
），
同理 P﹣b
¿1
2
（
❑
√
5−❑
√
6+❑
√
7
），
P﹣c
¿1
2
（
❑
√
5+❑
√
6−❑
√
7
），
所以，S2
¿1
2
（
❑
√
6+❑
√
7+❑
√
5
）
×1
2
（
❑
√
6+❑
√
7−❑
√
5
）
×1
2
[
❑
√
5−
（
❑
√
6−❑
√
7
）][
❑
√
5+¿
（
❑
√
6−❑
√
7
）]
¿1
16 ×
（8+2
❑
√
42
）（﹣8+2
❑
√
42
）
¿1
16 ×
（168 64﹣），
¿13
2
．
S
¿❑
√
26
2
．
S
¿❑
√
1
4¿¿
2．（2019 秋•玉田县期末）已知长方形的长为 a，宽为 b，且 a
¿3
2
❑
√
12
，b
¿1
2
❑
√
48
．
（1）求长方形的周长；
（2）当 S长方形＝S正方形时，求正方形的周长．
【分析】（1）直接利用矩形周长求法结合二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用正方形的性质化简得出边长求出答案．
【解析】（1）∵a
¿3
2
❑
√
12=3❑
√
3
，b
¿1
2
❑
√
48=¿
2
❑
√
3
，
∴长方形的周长是：2（a+b）＝2（
3❑
√
3+¿
2
❑
√
3
）
¿10❑
√
3
；
（2）设正方形的边长为 x，则有 x2＝ab，
∴x
¿❑
√
ab=❑
√
3❑
√
3×2❑
√
3=❑
√
18=3❑
√
2
，
∴正方形的周长是 4x＝12
❑
√
2
．
3．（2019 秋•二道区期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为 18dm2
和32dm2的正方形木板．
（1）求剩余木料的面积．
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为 1.5dm，宽为 1dm 的长方形木条，最多能截出　 2 　 块这样的
木条．
【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；
（2）求出 3
❑
√
2
和
❑
√
2
范围，根据题意解答．
【解析】（1）∵两个正方形的面积分别为 18dm2和32dm2，
∴这两个正方形的边长分别为 3
❑
√
2
dm 和4
❑
√
2
dm，
∴剩余木料的面积为（4
❑
√
2−
3
❑
√
2
）×3
❑
√
2=¿
6（dm2）；
（2）4＜3
❑
√
2＜
4.5，1
＜❑
√
2＜
2，
∴从剩余的木料中截出长为 1.5dm，宽为 1dm 的长方形木条，最多能截出 2块这样的木条，
故答案为：2．
4．（2019 春•武昌区校级月考）已知一个三角形的三边长分别为
2
3
❑
√
9x
、6
❑
√
x
4
、2x
❑
√
1
x
．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的 x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
【分析】（1）把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用二次根式的加减运算，先化为最简
二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
（2）该题答案不唯一，只要使它的周长为整数即可．
【解析】（1）周长
¿2
3
❑
√
9x+¿
6
❑
√
x
4+¿
2x
❑
√
1
x=¿
2
❑
√
x+¿
3
❑
√
x+¿
2
❑
√
x=¿
7
❑
√
x
．
（2）当 x＝4时，周长＝7
×❑
√
4=¿
14．（答案不唯一）．
5．（2020 秋•普宁市期中）材料：海伦公式是利用三角形三条边长求三角形面积的公式，用符号表示为：
S
¿❑
√
p(p − a)( p− b)( p − c )
（其中 a，b，c为三角形的三边长，p
¿a+b+c
2
，S为三角形的面积）．利
用上述材料解决问题：当 a
¿❑
√
5
，b＝3，c＝2
❑
√
5
时．
（1）直接写出 p的化简结果为　
3+3❑
√
5
2
　．
（2）写出计算 S值的过程．
【分析】（1）把 a、b、c的长代入求出 p即可；
（2）把 p的值代入 S计算即可得解．
【解析】（1）∵a
¿❑
√
5
，b＝3，c＝2
❑
√
5
，
∴p
¿a+b+c
2
¿❑
√
5+3+2❑
√
5
2
¿3+3❑
√
5
2
；
故答案为：
3+3❑
√
5
2
；
（2）S
¿❑
√
p(p − a)( p−b)( p −c )
专题16.9二次根式的应用大题专练30题（重难点培优）-2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【沪教版】.docx

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