专题16.7二次根式的求值大题专练上海汇编30题（重难点培优）-2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【沪教版】

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2021-2022 学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】
专题 16.7 二次根式的求值大题专练上海汇编 30 题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分 100 分，试题共 30 题，解答 30 道．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓
名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题（本大题共 30 小题，共 100 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2019 秋•浦东新区校级月考）化简：
2❑
√
3−2❑
√
2+❑
√
17−12❑
√
2
．
【分析】先根据完全平方公式化成平方形式，再根据二次根式性质开方，最后合并即可．
【解析 】原式＝2
❑
√
¿¿
＝2（
❑
√
2−¿
1）+3 2﹣
❑
√
2
＝1．
2．（2019 秋•松江区校级月考）已知 x
¿1
2+❑
√
3
，求 x24﹣x+2 的值．
【分析】利用分母有理化法则把 x化简，根据完全平方公式把原式化简，代入计算得到答案．
【解析 】x
¿1
2+❑
√
3=2−❑
√
3
(2+❑
√
3)(2−❑
√
3)=¿
2
−❑
√
3
，
则x24﹣x+2＝（x2﹣）22﹣＝3 2﹣＝1．
3．（2019 秋•浦东新区校级月考）已知 x
，求：（x+1）2+x1﹣．
【分析】利用分母有理化法则把 x化简，根据完全平方公式代入计算得到答案．
【解析 】x
¿1
❑
√
2+1=❑
√
2−1
(❑
√
2+1)(❑
√
2−1)=❑
√
2−¿
1，
则（x+1）2+x1﹣＝2
+❑
√
2−¿
1 1﹣
¿❑
√
2
．
4．（2019 秋•宝山区校级月考）已知 x
¿b
❑
√
2a+b−❑
√
2a−b
，y
¿b
❑
√
2a+b+❑
√
2a−b
，求 x2﹣xy+y2的值．
【分析】根据分母有理化化简 x与y，然后求出 x+y与xy 的表达式即可求出答案．
【解析 】∵x
¿b
❑
√
2a+b−❑
√
2a−b
，y
¿b
❑
√
2a+b+❑
√
2a−b
，
∴x
¿❑
√
2a+b+❑
√
2a−b
2
，y
¿❑
√
2a+b−❑
√
2a−b
2
，
∴x+y
¿❑
√
2a+b
，xy
¿b
2
，
∴原式＝x2+2xy+y23﹣xy
＝（x+y）23﹣xy
＝2a+b
−3b
2
＝2a
−b
2
5．（2017 秋•杨浦区校级期末）已知：x
¿❑
√
2+¿
3，求 x36﹣x2+8x+5 的值．
【分析】根据提公因式法、完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
【解析 】x36﹣x2+8x+5
＝x（x26﹣x+9）﹣x+5
＝x（x3﹣）2﹣x+5
当x
¿❑
√
2+¿
3时，原式＝（
❑
√
2+¿
3）×（
❑
√
2
）2﹣（
❑
√
2+¿
3）+5
¿❑
√
2+¿
8．
6．（2020 秋•嘉定区期中）已知
x=1
❑
√
3−❑
√
2
，y=1
❑
√
3+❑
√
2
，求代数式 4x28﹣xy+4y2的值．
【分析】先利用分母有理化得到 x
¿❑
√
3+❑
√
2
，y
¿❑
√
3−❑
√
2
，则 x﹣y＝2
❑
√
2
，然后利用完全平方公式得到
4x28﹣xy+4y2＝4（x﹣y）2，最后利用整体代入的方法计算．
【解析 】∵
x=1
❑
√
3−❑
√
2
，y=1
❑
√
3+❑
√
2
，
∴x
¿❑
√
3+❑
√
2
，y
¿❑
√
3−❑
√
2
，
∴x﹣y＝2
❑
√
2
，
∴4x28﹣xy+4y2＝4（x﹣y）2＝4×（2
❑
√
2
）2＝4×8＝32．
7．（2020 秋•浦东新区期中）化简求值：已知 a
¿1
❑
√
2−1
，b
¿1
❑
√
2+1
，求[
a−b
❑
√
a−❑
√
b−¿
（
❑
√
b−❑
√
a
）]•（
❑
√
a+❑
√
b
）的值．
【分析】先分母有理化得到 a
¿❑
√
2+¿
1，b
¿❑
√
2−¿
1，再利用因式分解的方法化简[
a−b
❑
√
a−❑
√
b−¿
（
❑
√
b−❑
√
a
）]•（
❑
√
a+❑
√
b
）得到 2a+2
❑
√
ab
，然后把 a
¿❑
√
2+¿
1，b
¿❑
√
2−¿
1代入计算即可．
【解析 】∵a
¿1
❑
√
2−1=❑
√
2+¿
1，b
¿1
❑
√
2+1=❑
√
2−¿
1，
∴[
a−b
❑
√
a−❑
√
b−¿
（
❑
√
b−❑
√
a
）]•（
❑
√
a+❑
√
b
）
＝[
(❑
√
a+❑
√
b)(❑
√
a−❑
√
b)
❑
√
a−❑
√
b−−❑
√
b+❑
√
a
]•（
❑
√
a+❑
√
b
）
＝（
❑
√
a+❑
√
b−❑
√
b+❑
√
a
]•（
❑
√
a+❑
√
b
）
＝2
❑
√
a
（
❑
√
a+❑
√
b
）
＝2a+2
❑
√
ab
，
把a
¿❑
√
2+¿
1，b
¿❑
√
2−¿
1代入得，原式＝2（
❑
√
2+¿
1）+2
❑
√
(❑
√
2+1)(❑
√
2−1)
＝2
❑
√
2+¿
2+2
＝2
❑
√
2+¿
4．
8．（2019 秋•浦东新区校级月考）先化简，后求值：
a−b
❑
√
a+❑
√
b+a+4❑
√
ab +4b
❑
√
a+2❑
√
b
，其中 a
¿1
2
，b
¿1
8
．
【分析】直接利用乘法公式将原式变形进而化简得出答案．
【解析 】原式
¿(❑
√
a+❑
√
b)(❑
√
a−❑
√
b)
❑
√
a+❑
√
b+¿¿
¿❑
√
a−❑
√
b+❑
√
a+¿
2
❑
√
b
＝2
❑
√
a+❑
√
b
，
当a
¿1
2
，b
¿1
8
时，
原式＝2
❑
√
1
2+❑
√
1
8
¿❑
√
2+❑
√
2
4
¿5❑
√
2
4
．
9．（2019 秋•浦东新区校级月考）已知 x+y＝﹣4，xy＝1，求 x
❑
√
x
y+¿
y
❑
√
y
x
的值．
【分析】原式化简后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解析 】∵x+y＝﹣4，xy＝1，
∴原式
¿−x
y
❑
√
xy−y
x
❑
√
xy=−❑
√
xy
•
x2+y2
xy =−❑
√
xy
•
¿¿
1
×16−2
1=−¿
14．
10．（2019 秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值：
(❑
√
ab−ab
a+❑
√
ab )÷
❑
√
ab−a
a−b
，其中 a
¿❑
√
3−❑
√
2
❑
√
2+❑
√
3
，b
＝5+2
❑
√
6
．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最
简结果，把 a与b的值代入计算即可求出值．
【解析 】原式
¿
❑
√
ab (a+❑
√
ab)−ab
a+❑
√
ab
•
a−b
❑
√
ab−a
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