3.4 一元一次方程模型的应用（二）（解析版）-【备考无忧】2021-2022学年七年级数学上册同步提优精练（湘教版）

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3.4 一元一次方程模型的应用（二）
夯实双基，稳中求进
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题

分析
抽象
方程

求解
检验
解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
特别说明：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系， 寻找
等量关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为
x
，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类
量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
题型一：数字问题
【例题 1】（2021·山西七年级期中）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们
以无限循环小数 为例进行说明，设 ，由 可知， ，所以 ．
解方程，得 ，于是 ．将 写成分数的形式是___________．
【答案】
【分析】仿照阅读材料中的方法求出所求即可．
【详解】解：设 ，则 ，
所以 ，
解得： ，
故答案为： ．
知识点管理
归类探究
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式训练
【变式 1-1】（2021·山西临汾市·）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的 2倍小 3，如果把十位上
的数字与个位上的数字对调，那么得到的两位数就比原两位数小 9，原来的两位数是______．
【答案】21
【分析】设原来的两位数的十位上的数为 a，则个位上数为（2a-3），根据“如果把十位上的数字与个位
上的数字对调，那么得到的两位数就比原两位数小 9，”可列出关于 a的方程，解出 a即可．
【详解】解：设原来的两位数的十位上的数为 a，则个位上数为（2a-3），
根据题意得：10a+2a-3=10(2a-3)+a+9，
解得：a=2，
∴2a-3=1，
∴原来的两位数是 21．
故答案为：21．
【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，理解题意．准确找到等量关系是解题的关键．
【变式 1-2】（2021·全国九年级专题练习）已知两个连续奇数的积是 15，则这两个数是________________
___．
【答案】3和5或3和5．
【分析】设出两个连续的奇数，根据两个连续奇数的积是 15 这一等量关系，列出方程解答即可．
【详解】解：设其中一个奇数为 x，则较大的奇数为（x+2），
由题意得，x（x+2）=15，
解得，x=3 或x= 5，
两个数为：3和5或3和5；
故答案为：3和5或3和5；
【点睛】本题属于列一元二次解应用题中的数字类问题，此类题目易根据等量关系列出方程，解决此类题
目的关键是设未知数一定准确，答案不能漏解．
【变式 1-3】（2021·山东七年级期末）若代数式 2 8﹣x与9x3﹣的值互为相反数，则 x＝___．
【答案】1
【分析】根据相反数的定义可得一个关于 的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意得： ，
解得 ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了相反数、一元一次方程的应用，熟记相反数的定义是解题关键．
题型二：几何问题
【例题 2】（2021·辽宁葫芦岛市·七年级期中）已知 ， ， 在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别
为 、 、 ．
（1）在数轴上表示 的点与表示 3的点之间的距离为______；由此可得点 、 之间的距离为______；
（2）若 ， 的倒数是它本身， 的绝对值的相反数是 ，直接写出 ， ， 的值；
（3）在（2）的条件下，点 从点 出发，以每秒 3单位的速度沿数轴向左运动；点 从点 出发，以每
秒2单位的速度沿数轴向右运动：点 从点 出发，以每秒 4单位的速度沿数轴向右运动；设运动时间为 ，
当 时，求 的值．
【答案】（1）4， ；（2） ， ， ；（3） 或
【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式求解即可得到答案；
（2）根据平方根，倒数，相反数和绝对值的定义求解即可；
（3）分别求出运动时间为 t时PM 和MN 的长度，然后根据两者相等，求解即可得到答案.
【详解】解：（1）数轴上表示−1的点与表示 3的点之间的距离=，
由数轴可知 ， ，
∴点 A、B之间的距离=；
（2）由数轴可知 ， ， ，
∵，
∴ ，
∵-b的倒数是它的本身，
∴ ，
∴ ，
∵a的绝对值的相反数是 2，
∴ ，
∴ ；
（3）由题意可知：t秒后，M、N、P在数轴上对应的数分别是 2-3t、2t-1、4t-2，
∴ ， ，
∵
∴
∴ 或
解得 或
∴当 ，t的值为 或 .
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，倒数的定义，相反数的定义，平方根的定义，解题的关
键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
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