2.7 弧长及扇形面积-2021-2022学年九年级数学上册同步精品课时备课系列（苏科版）（解析版）

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2.7 弧长及扇形面积
【基础知识】
一、弧长公式
　　半径为 R 的圆中
　　360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：
　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式： (弧是圆的一部分)
要点：
　　(1)对于弧长公式，关键是要理解 1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ，即 ；
　　(2)公式中的ｎ表示 1°圆心角的倍数，故ｎ和 180 都不带单位，R 为弧所在圆的半径；
　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出
第三个量.
二、扇形面积公式
1.扇形的定义
　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
　　半径为 R 的圆中
　　360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
　　n°的圆心角所对的扇形面积公式：
要点：
　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是 1°的扇形面积是圆面积的 ，
即 ；
　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积 S、扇形半径 R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就
可以求出第三个量.
　　(3)扇形面积公式 ，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有点
类似，可类比记忆；
　　(4)扇形两个面积公式之间的联系： .
三、圆锥的侧面积和全面积
　　连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
　　圆锥的母线长为 ，底面半径为 r，侧面展开图中的扇形圆心角为 n°，则
　　圆锥的侧面积 ，
圆锥的全面积 .
要点：
　　扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展
开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.
【典例剖析】
【典例 1】．有一条弧的长为 2πcm，半径为 2cm，则这条弧所对的圆心角的度数是（　　）
A．90° B．120° C．180° D．135°
【答案】C
【分析】
根据弧长公式：l＝ （弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R），代入即可求出圆心角的度数．
【解析】
解：由题意得，2π＝ ，
解得：n＝180．
即这条弧所对的圆心角的度数是 180°．
故选 C．
【点睛】
本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义．
【典例 2】．用一个圆心角为 ，半径为 的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（
）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据扇形的弧长公式求出弧长，根据圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长求出半径．
【解析】
解：设圆锥底面的半径为 r，
扇形的弧长为： ，
∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，
∴根据题意得 2πr=，
解得：r= ，
故选 C.
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，掌握弧长公式、周长公式和圆锥与扇形的对应关系是解题的关键．
【典例 3】．已知一个半径为 6的扇形面积是 4π，则这个扇形的圆心角是（　　）
A．30° B．40° C．45° D．60°
【答案】B
【解析】
∵r=6，S扇形=4π，
∴ ＝4π，
解得 n=40；
∴这个扇形的圆心角为 40°．
故选 B.
【典例 4】．秋千拉绳长 3 m，静止时踩板离地面 0.5 m，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面 2
m(左右对称)，如图，则该秋千所荡过的圆弧长为(　　)
A．π mB．2π mC．π mD． m
【答案】B
【分析】
根据题意先作辅助线 BG AC⊥于G，然后确定 AG=1.5，根据在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一
半，得∠BAG=60°，从而求得∠BAF=120°，最后求出弧长．
【解析】
如图，AD 垂直地面于 D并交圆弧于 C，BE 垂直地面于 E．由题意 BE=2，AC=3，CD=0.5（单位：米）．
作BG AC⊥于G，则 AG=AD-GD=AC+CD-BE=1.5．
由于 AB=3，所以在直角三角形 ABG 中，AB=2AG
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