2.6 正多边形与圆-2021-2022学年九年级数学上册同步精品课时备课系列（苏科版）（解析版）

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2.6 正多边形与圆
【基础知识】
一、正多边形的概念
　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
要点：
　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形
的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
二、正多边形的重要元素
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，
这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的有关计算
　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是 ；
　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是 ；
　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是 .
要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
三、正多边形的性质
　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成 2ｎ个全等的直角三角形.
　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正 n边形的中心；当
边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
　　　　　　　　
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似
比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外
切正多边形.
四、正多边形的画法
1.用量角器等分圆
　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等
分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正 n 边形.
2.用尺规等分圆
　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
　　　①正四、八边形。
　　
　　在⊙O 中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成 4 等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边
所对的弧(即作∠AOB 的平分线交 于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。
　　②正六、三、十二边形的作法。
　　
　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O 中，任画一条直径 AB，分别以 A、B
为圆心，以⊙O 的半径为半径画弧与⊙O 相交于 C、D 和 E、F，则 A、C、E、B、F、D 是⊙O 的 6 等分点。
　　显然，A、E、F(或 C、B、D)是⊙O 的 3 等分点。
　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12 等分……。
要点：画正 n 边形的方法：（1）将一个圆 n 等份，（2）顺次连结各等分点.
【典例剖析】
【典例 1】．正六边形的边长为 6，则它的边心距为（　　）
A．3 B．C．4 D．
【答案】B
【分析】
已知正六边形的边长为 6，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角形，通过
解直角三角形求解即可．
【解析】
解：如图所示，
此正六边形中 ，则 ．
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∴= ．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．解答时要注意以下问题：①熟悉正六边形和正三角形的
性质；②作出半径和边心距，构造出直角三角形，利用解直角三角形的知识解答．
【典例 2】．一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据圆内接正六边形和正方形的性质，将问题转化为关于三角形的问题，即可求出正六边形和正方形的边
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