2.5 直线与圆的位置关系-2021-2022学年九年级数学上册同步精品课时备课系列（苏科版）（原卷版）

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2.5 直线与圆的位置关系
【基础知识】
一、直线和圆的位置关系
1．直线和圆的三种位置关系：
　　(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
　　(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫
做切点．
　　(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
2．直线与圆的位置关系的判定和性质．
　　直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点
(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图
(3)中直线与圆心的距离大于半径．
　　　　　　　　
　　如果⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 的距离为 d，那么
　　
要点：
这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置
关系的判定．
二、切线的判定定理和性质定理
1．切线的判定定理：
　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
要点：
切线的判定方法：
（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；
（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一
是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.
2．切线的性质定理：
　　圆的切线垂直于过切点的半径.
要点诠释：
切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
三、切线长定理
1．切线长：
　　经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
要点：
　　切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.
2．切线长定理：
　　从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
要点：
　　切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
3．圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的两组对边之和相等.
四、三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：
　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：
　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
　　要点：
　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的
一半，即 (S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径).
　　(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质
外心(三角形外
接圆的圆心)
三角形三边中垂线的
交点
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一
定在三角形内部
内心(三角形内
切圆的圆心)
三角形三条角平分线
的交点
(1)到三角形三边距离相等；
(2)OA、OB、OC 分别平分
∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)内心在三角形内部.
【典例剖析】
【典例 1】．已知 的半径等于 ，圆心 到直线 的距离为 ，则直线 与 的公共点的个数
为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【典例 2】．已知 的半径为 为直线 上的一点，若 ，则直线 与 的位置关系是
（ ）
A．一定相交 B．一定相切 C．一定相离 D．可能相交，也可能相切或相离
【典例 3】．下列直线是圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线
【典例 4】．如图，PA，PB 分别与⊙O相切于 A、B两点．直线 EF 切⊙O于C点，分别交 PA、PB 于
E、F，且 PA＝10．则△PEF 的周长为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
【典例 5】．己知⊙ 的半径是一元二次方程 的一个根，圆心 到直线 的距离 .则
直线 与⊙ 的位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
【典例 6】．如图，PA、PB 为圆 O的切线，切点分别为 A、B，PO 交AB 于点 C，PO 的延长线交圆 O于
点D，下列结论不一定成立的是( )
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB PD⊥D．AB 平分 PD
【典例 7】．给出下列说法：
①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；
④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．
其中正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【典例 8】．如图，△ABC 的三边分别切⊙O于点 D，E，F，若 AB＝7，BC＝8，AC＝9，则 BE、CF 各
为（ ）
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