1.3 一元二次方程的根与系数的关系-2021-2022学年九年级数学上册同步精品课时备课系列（苏科版）（原卷版）

3.0 envi 2025-05-05 15 4 298.87KB 9 页 3知币

侵权投诉

1.3 一元二次方程的根与系数的关系

【基础知识】

一、一元二次方程的根与系数的关系

1.一元二次方程的根与系数的关系

如果一元二次方程的两个实数根是，

那么， .

注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数

所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

2.一元二次方程的根与系数的关系的应用

(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；

(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；

(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于 x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重

要变形；如：

① ；

② ；

③ ；

④ ；

⑤ ；

⑥ ；

⑦ ；

⑧ ；

)0(0

2 acbxax 21 xx ，

xx  21 a

xx 

2 2 2

1 2 1 2 1 2

( ) 2x x x x x x   

1 2

1 2 1 2

1 1 x x

x x x x



 



2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

( )x x x x x x x x  

2 2

2 1 1 2

1 2 1 2

x x x x



 

1 2 1 2

1 2

( ) 2x x x x

x x

 



2 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( ) 4x x x x x x   

1 2

( )( )x k x k  2

1 2 1 2

( )x x k x x k   

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

| | ( ) ( ) 4x x x x x x x x     

2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

( ) 21 1

( )

x x x x x x

  

  

⑨ ；

⑩ ．

(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；

以两个数为根的一元二次方程是 .

(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；

（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.

设一元二次方程的两根为、，则

①当△≥0 且时，两根同号．

当△≥0 且，时，两根同为正数；

当△≥0 且，时，两根同为负数．

②当△＞0 且时，两根异号．

当△＞0 且，时，两根异号且正根的绝对值较大；

当△＞0 且，时，两根异号且负根的绝对值较大．

要点：

（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往

利用这一点设置陷阱；

（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．

【典例剖析】

考点一：一元二次方程的根与系数的关系

【典例 1】．若 x1，x2是方程 x23﹣x2﹣＝0的两个根，则 x1+x2﹣x1•x2的值是（　　）

A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1

【典例 2】．方程有两个相等的实数根，且满足则 m的值是（）

A．-2 或3 B．3 C．-2 D．-3 或2

考点二：一元二次方程的根与系数的关系的适当变形问题

【典例 3】．已知 m、n是一元二次方程的两个实数根，则（　　　）

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

( ) ( ) 4x x x x x x x x       

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

| | | | (| | | |) +2 | |x x x x x x x x     2

1 2 1 2 1 2

( ) 2 2 | |x x x x x x    

20( 0)ax bx c a    1

1 2 0x x 

1 2 0x x 1 2 0x x 

1 2 0x x 1 2 0x x 

1 2 0x x 

1 2 0x x 1 2 0x x 

1 2 0x x 1 2 0x x 



a ba ba b

A．3 B．C．D．

【典例 4】．设 m、n是一元二次方程 x2+3x7﹣＝0的两个根，则 m2+4m+n＝（　　）

A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．5

【典例 5】．已知一元二次方程 x24x+3=0﹣的两根 x1、x2，则 x124x﹣1+x1x2=（　　）

A．0 B．1 C．2 D．﹣1

【典例 6】．关于 x的方程有两个实数根，，且，那么 m

的值为（）

A．B．C．或 1 D．或 4

【典例 7】．关于 x的一元二次方程有两个实数根，

，则 k的值（）

A．0或2 B．-2 或2 C．-2 D．2

考点三：复杂变形问题、系数的符号与根的情况

【典例 8】．若 a≠b，且则的值为（）

A．B．1 C．.4 D．3

【典例 9】．对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0），下列说法中错误的是（　　）

A．当 a＞0，c＜0时，方程一定有实数根

B．当 c=0 时，方程至少有一个根为 0

C．当 a＞0，b=0，c＜0时，方程的两根一定互为相反数

D．当 abc＜0时，方程的两个根同号，当 abc＞0时，方程的两个根异号

考点四：新定义题型

【典例 10】0．定义：如果一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）满足 a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和

谐”方程；如果一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）满足 a﹣b+c=0 那么我们称这个方程为“美好”方程，如

果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（　　）

A．方有两个相等的实数根 B．方程有一根等于 0

C．方程两根之和等于 0 D．方程两根之积等于 0

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

1.3 一元二次方程的根与系数的关系-2021-2022学年九年级数学上册同步精品课时备课系列（苏科版）（原卷版）.docx

共9页,预览3页

还剩页未读，继续阅读

1.3 一元二次方程的根与系数的关系-2021-2022学年九年级数学上册同步精品课时备课系列（苏科版）（原卷版）

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: