1.3 一元二次方程的根与系数的关系-2021-2022学年九年级数学上册同步精品课时备课系列（苏科版）（解析版）

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1.3 一元二次方程的根与系数的关系

【基础知识】

一、一元二次方程的根与系数的关系

1.一元二次方程的根与系数的关系

如果一元二次方程的两个实数根是，

那么， .

注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数

所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

2.一元二次方程的根与系数的关系的应用

(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；

(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；

(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于 x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重

要变形；如：

① ；

② ；

③ ；

④ ；

⑤ ；

⑥ ；

⑦ ；

⑧ ；

)0(0

2 acbxax 21 xx ，

xx  21 a

xx 

2 2 2

1 2 1 2 1 2

( ) 2x x x x x x   

1 2

1 2 1 2

1 1 x x

x x x x



 



2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

( )x x x x x x x x  

2 2

2 1 1 2

1 2 1 2

x x x x



 

1 2 1 2

1 2

( ) 2x x x x

x x

 



2 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( ) 4x x x x x x   

1 2

( )( )x k x k  2

1 2 1 2

( )x x k x x k   

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

| | ( ) ( ) 4x x x x x x x x     

2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

( ) 2

1 1

( )

x x x x x x

  

  

⑨ ；

⑩ ．

(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；

以两个数为根的一元二次方程是 .

(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；

（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.

设一元二次方程的两根为、，则

①当△≥0 且时，两根同号．

当△≥0 且，时，两根同为正数；

当△≥0 且，时，两根同为负数．

②当△＞0 且时，两根异号．

当△＞0 且，时，两根异号且正根的绝对值较大；

当△＞0 且，时，两根异号且负根的绝对值较大．

要点：

（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往

利用这一点设置陷阱；

（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．

【典例剖析】

考点一：一元二次方程的根与系数的关系

【典例 1】．若 x1，x2是方程 x23﹣x2﹣＝0的两个根，则 x1+x2﹣x1•x2的值是（　　）

A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1

【答案】C

【解析】

根据题意得 x1+x2=3，x1x2= 2﹣，

所以 x1+x2﹣x1•x2=3 ( 2)=5﹣ ﹣ ．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若是一元二次方程 ( )的两根时，

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

( ) ( ) 4x x x x x x x x       

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

| | | | (| | | |) +2 | |x x x x x x x x     2

1 2 1 2 1 2

( ) 2 2 | |x x x x x x    

20( 0)ax bx c a    1

1 2 0x x 

1 2 0x x 1 2 0x x 

1 2 0x x 1 2 0x x 

1 2 0x x 

1 2 0x x 1 2 0x x 

1 2 0x x 1 2 0x x 



a ba ba b

，．

【典例 2】．方程有两个相等的实数根，且满足则 m的值是（）

A．-2 或3 B．3 C．-2 D．-3 或2

【答案】C

【解析】

解：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，

m+6=m∴2，

解得 m=3 或m=-2，

∵方程 x2-（m+6）x+m2=0 有两个相等的实数根，

=b∴△2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0

解得 m=6 或m=-2

m=-2∴．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两

个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二

次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为 x1，x2，则 x1+x2=，x1•x2=．

考点二：一元二次方程的根与系数的关系的适当变形问题

【典例 3】．已知 m、n是一元二次方程的两个实数根，则（　　　）

A．3 B．C．D．

【答案】B

【分析】

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