1.3 勾股定理的应用（一）（解析版）-【【备考无忧】2021-2022学年八年级数学上册同步提优精练（北师大版）

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1.3 勾股定理的应用（一）
夯实双基，稳中求进
题型一：求梯子滑落高度
【例题 1】（2021·河北）春节期间，乐乐帮妈妈挂灯笼时，发现，如图长 2.5 米的梯子 斜靠在一竖直的
墙 上，这时 为 1.5 米，当梯子的底端 向右移动 0.5 米到 处时，你能帮乐乐算算梯子顶端 下滑
多少米吗？（ 处）．
【答案】0.5 米
【分析】在 中，由勾股定理可求出 AC 的值，在 中，由勾股定理可求出 CE 的值，最后根
据线段的和差关系即可得出答案．
【详解】解：∵ ，在 中，由勾股定理得， ，
∴ 米，（负值已舍去）
∵ 米，
∴在 中， ，
∴ 米
∴ （米）
答：梯子顶端 下滑 0.5 米．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形里根据勾股定理，知道其中两边就可求出第三边，从而
知识点管理
归类探究
可求解．
变式训练
【变式 1-1】（2021·江苏）如图，一架 25 米长的梯子 斜靠在一竖直的墙 上，梯子底端 离墙
有7米．
（1）求梯子靠墙的顶端 距地面有多少米？
（2）小燕说“如果梯子的顶端 沿墙下滑了 4米，那么梯子的底端 在水平方向就滑动了 4米．”她的说
法正确吗？若不正确，请说明理由．
【答案】（1）24 米；（2）不正确，理由见解析．
【分析】（1）利用勾股定理，即可求出答案；
（2）由题意，先求出 ， ， ，然后利用勾股定理求出 ，即可得到答案．
【详解】解：（1）如图，
由题意得 ， ，
∴
∴
即顶端 距地面有 24 米
（2）她的说法不正确；
由题意得 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴梯子水平滑动了 8米，
∴她的说法不正确．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意
图．领会数形结合思想的应用．
【变式 1-2】（2019·内蒙古）如图 1所示，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面 15 米，梯子
的长度比梯子底端离墙的距离大 5米．
（1）这个云梯的底端离墙多远？
（2）如图 2所示，如果梯子的顶端下滑了 米，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？
【答案】（1）20；（2）4
【分析】（1）结合题意，通过勾股定理计算，即可得到答案；
（2）结合题意，通过勾股定理计算得 OB，结合（1）结论计算，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，得 米， 米
由勾股定理得
∴
∴
即这个云梯的底端离墙 20 米远；
（2）由（1）可得： 米
根据题意可得： 米， 米
由勾股定理得
可得：
米
即梯子的底部在水平方向滑动了 4米．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解．
【变式 1-3】（2021·江苏八年级期末）我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地
秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长
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