1.3 勾股定理的应用（二）（原卷版）-【【备考无忧】2021-2022学年八年级数学上册同步提优精练（北师大版）

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1.3 勾股定理的应用（二）
夯实双基，稳中求进
题型一：求河宽
【例题 1】（2020·上饶市广信区第七中学）印度数学家什迦罗在其著作中提出过“荷花问题”：“平平湖
水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能
算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
此题的大致意思是：湖水中一枝荷花高出湖面半尺，被风一吹，荷花倾斜，正好与湖面持平，且荷花与原
来位置的水平距离为二尺，问湖水有多深．
变式训练
【变式 1-1】（2020·武冈市第二中学八年级开学考试）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际
上岸地点 A偏离欲到达地点 B相距 50 米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多 10 米，求该河的宽度
BC 为多少米？
【变式 1-2】（2020·山西八年级期末）如图，为了测量湖泊两侧点 A和点 B间的距离，数学活动小组的同
学过点 A作了一条 的垂线，并在这条垂线的点 C处设立了一根标杆（即 ）．量得 ，
知识点管理
归类探究
，求点 A和点 B间的距离．
【变式 1-3】（2021·全国八年级课时练习）如图所示，湖的两岸有两点 A，B，在与 AB 成直角的 BC 方向
上的点 C处测得 AC＝50 米，BC＝40 米．
求：（1）A，B两点间的距离；
（2）点 B到直线 AC 的距离．
题型二：求台阶上地毯长度
【例题 2】（2021·湖北八年级期末）如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于
90cm，25cm 和15cm 的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在 A点处有一只蚂蚁，想到 B点去
吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从 A点出发，沿着台阶面爬到 B点，最短路程是多少？
变式训练
【变式 2-1】（2019·太原市第五十三中学校）如图，要在一个高为 3米，长为 5米的楼梯表面铺地毯，若
楼梯宽为 1.5 米，地毯的单价为20 元/平方米，请你为该楼梯铺地毯做出预算．
【变式 2-2】（2019·全国八年级课时练习）如图，要为一段高 ，长 的楼梯铺上红地毯．问：红地
毯至少需要多少米？
【变式 2-3】（2019·全国）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为
55cm，10cm，6cm，点 和点 是这个台阶的两个相对的端点， 点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点
爬到点 的最短路程是多少？
题型三：判断汽车是否超速
【例题 3】（2020·吉林八年级期末）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超
过70 千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪正前方
30 米的 处，过了 2秒后，小汽车行驶至 处，若小汽车与观测点间的距离 为 50 米，请通过计算说明：
这辆小汽车是否超速？
变式训练
【变式 3-1】（2021·全国八年级）某地规定小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过72 千米/时．若一辆
“小汽车”在城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方 50 米C处，过了 5
秒后，测得“小汽车”位置 B与“车速检测仪A”之间的距离为 130 米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明
理由．
【变式 3-2】（2020·山东省平邑县第一中学）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街
路上行驶速度不得超过70 千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶
到路面对车速检测仪A的正前方 50 米处的 C点，过了 6秒后，测得小汽车所在的 B点与车速检测仪A之
间的距离为 130 米．
（1）求 BC 间的距离；
（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
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