1.3 勾股定理的应用（二）（解析版）-【【备考无忧】2021-2022学年八年级数学上册同步提优精练（北师大版）

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1.3 勾股定理的应用（二）

夯实双基，稳中求进

题型一：求河宽

【例题 1】（2020·上饶市广信区第七中学）印度数学家什迦罗在其著作中提出过“荷花问题”：“平平湖

水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能

算诸君请解题，湖水如何知深浅？”

此题的大致意思是：湖水中一枝荷花高出湖面半尺，被风一吹，荷花倾斜，正好与湖面持平，且荷花与原

来位置的水平距离为二尺，问湖水有多深．

【答案】3.75 尺

【分析】先根据题意构造出直角三角形（即荷花的折断与不断时恰好构成直角三角形），再根据已知条件

求解．

【详解】设水深 x尺，则荷花茎的长度为 x+0.5，

根据勾股定理得：

解得：x=3.75.

答：湖水深 3.75 尺.

故答案为：3.75 尺.

【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于结合题意列出一元二次方程.

变式训练

【变式 1-1】（2020·武冈市第二中学八年级开学考试）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际

知识点管理

归类探究

上岸地点 A偏离欲到达地点 B相距 50 米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多 10 米，求该河的宽度

BC 为多少米？

【答案】该河的宽度 BC 为120 米

【分析】根据题意可知△ABC 为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边 BC 的距离．

【详解】根据题意可知 AB＝50 米，AC＝BC+10 米，

设BC＝x，由勾股定理得 AC2＝AB2+BC2，

即（x+10）2＝502+x2，解得 x＝120．

答：该河的宽度 BC 为120 米．

【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，根据题意构建直角三角形及三边的数量关系是解题的关键.

【变式 1-2】（2020·山西八年级期末）如图，为了测量湖泊两侧点 A和点 B间的距离，数学活动小组的同

学过点 A作了一条的垂线，并在这条垂线的点 C处设立了一根标杆（即）．量得，

，求点 A和点 B间的距离．

【答案】点和点间的距离为

【分析】在 Rt ABC△中利用勾股定理计算出 AB 长即可．

【详解】解：∵ ．

∴ ，

∴在中，．

∵ ，，

∴ ．

答：点和点间的距离为．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等

于斜边的平方．

【变式 1-3】（2021·全国八年级课时练习）如图所示，湖的两岸有两点 A，B，在与 AB 成直角的 BC 方向

上的点 C处测得 AC＝50 米，BC＝40 米．

求：（1）A，B两点间的距离；

（2）点 B到直线 AC 的距离．

【答案】（1）30 米；（2）24 米．

【分析】（1）正好是直角三角形，根据勾股定理即可解答；

（2）过点作于点，利用等积法求解即可．

【详解】解：由图可知，三角形是直角三角形

，，

；

（2）过点作于点，

，即

，

即点到直线的距离是 24 米．

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键．

题型二：求台阶上地毯长度

【例题 2】（2021·湖北八年级期末）如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于

90cm，25cm 和15cm 的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在 A点处有一只蚂蚁，想到B点去

吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从 A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？

【答案】最短路程是 150cm．

【分析】展开后得到下图的直角，根据题意求出 AC、BC，根据勾股定理求出 AB 即可．

【详解】展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90，

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