1.2.1 一元二次方程的解法-2021-2022学年九年级数学上册同步精品课时备课系列（苏科版）（解析版）

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1.2.1 一元二次方程的解法-配方法与直接开平方法

【基础知识】

一、一元二次方程的解法

1．直接开方法解一元二次方程：

　　(1)直接开方法解一元二次方程：

　　　利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.

　　(2)直接开平方法的理论依据：

　　　平方根的定义.

　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

　　　 ①形如关于 x 的一元二次方程，可直接开平方求解.

　　　　若，则；表示为，有两个不等实数根；

　　　　若，则 x=O；表示为，有两个相等的实数根；

　　　　若，则方程无实数根．

　　　 ②形如关于 x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是

要点：

用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全

平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.

2．配方法解一元二次方程：

　　(1)配方法解一元二次方程：

　　　将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方

程的方法叫配方法.

　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式： .

　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：

　　　①把原方程化为的形式；

　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为 1；

　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无

实数解.

要点：

（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；

（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.

（3）配方法的理论依据是完全平方公式．

二、配方法的应用

1．用于比较大小：

在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比

较出大小.

2．用于求待定字母的值：

配方法在求值中的应用，将原等式右边变为 0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待

定字母的取值．

3．用于求最值：

“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．

4．用于证明：

“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也

有着广泛的应用．

【典例剖析】

考点一：直接开平方法及其条件

【典例 1】．一元二次方程的解为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

，∴ ．

【典例 2】．关于的方程能直接开平方求解的条件是（）

A．B．

C．为任意数 D．为任意数且

【答案】D

【分析】

根据一个数的平方是非负数，可得．

【解析】

∵ ，

2 2 2

2 ( )a ab b a b   

∴ ，为任意数，

故选：D．

【点睛】

本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，基本形式有：（a≥0）．

【典例 3】．若（a2+b23﹣）2＝25，则 a2+b2＝（）

A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8

【答案】C

【分析】

先直接开平方求得 a2+b23﹣＝±5，然后再整体求出 a2+b2即可．

【解析】

解：∵（a2+b23﹣）2＝25，

∴a2+b23﹣＝±5，

∴a2+b2＝3±5，

∴ a2+b2＝8或a2+b2＝﹣2

∵a2+b2≥0

∴a2+b2＝8．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的解法和代数式求值，掌握运用直接开平方法解一元二次方程和整体思想是

解答本题的关键．

【典例 4】．对于方程，下列叙述正确的是（）

A．不论 c为何值，方程均有实数根

B．方程的根是

C．当时，方程可化为或

D．当时，

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