1.1 探索勾股定理（原卷版）-【【备考无忧】2021-2022学年八年级数学上册同步提优精练（北师大版）

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1.1 探索勾股定理

夯实双基，稳中求进

题型一：勾股定理证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

　　　图（1）中，所以 .

　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

　　　　　　图（2）中，所以 .

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

　　　　，所以 .

【例题 1】（2021 春•巢湖市期末）我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，

知识点管理

归类探究

这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．下面是用三块全等的直角三角形

移、拼、补所形成的“无字证明”图形．

（1）此图可以用来证明你学过的什么定理？请写出定理的内容；

（2）已知直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，图 1、图 2的面积相等，请你根据此图证明

（1）中的定理．

变式训练

【变式 1-1】（2020•随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．

在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定

理，创制了一幅“弦图”（如图，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

（1）①请叙述勾股定理；

②勾股定理的证明，人们已经找到了 400 多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定

理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

（2）①如图 4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三

个图形中面积关系满足的有　　个；

②如图 7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别

为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；

（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重

复这一过程就可以得到如图 8所示的“勾股树”．在如图 9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方

形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知

，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示）

①　　；

②与的关系为　　，与的关系为　　．

【变式 1-2】（2021 春•滑县期末）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边的长分别为

和，斜边长为．请你开动脑筋，用它们拼出正方形图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠．

（1）请你画出拼成的这个图形的示意图；

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