《2022-2023学年七年级数学上册从重点到压轴（浙教版）》专题2.4 有理数的规律问题（重点题专项讲练）（浙教版）（原卷版）

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专题 2.4 有理数的规律问题
【典例 1】观察下列各式：
13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；
13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；
13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；
猜想并填空：
（1）13+23+33+43+53＝　 　2＝　 　2；
根据以上规律填空：
（2）13+23+33+…+n3＝　 　2＝　 　2；
（3）求解：163+173+183+193+203．
【思路点拨】
（1）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（2）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（3）利用（2）中的结论进行计算．
【解题过程】
解：（1）由题意可得：
13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152，
故答案为：（1+2+3+4+5）；15；
（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+...+n）2＝[
n(n+1)
2
]2，
故答案为：（1+2+3+...+n）；[
n(n+1)
2
]；
（3）原式＝（13+23+33+…+163+173+183+193+203）﹣（13+23+33+…+153）
＝（1+2+3+...+20）2﹣（1+2+3+...+15）2
＝[
20×(1+20)
2
]2[﹣
15×(1+15)
2
]2
＝2102120﹣2
＝44100 14400﹣
＝29700．
1．（2022•从化区一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；
（2）f（
1
2
）＝2，f（
1
3
）＝3，f（
1
4
）＝4…．
利用以上规律计算：f（2022）﹣f（
）等于（　　）
A．2021 B．2022 C．
D．
2．（2020 秋•历下区校级月考）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第 1次向右跳 2个单位长度，第 2次向左
跳4个单位长度，第 3次向右跳 6个单位长度，第 4次向左跳 8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第
2020 次落下时，落点表示的数是（　　）
A．2019 B．2020 C．﹣2020 D．1010
3．（2022 春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成 4个并死去一个，2小时后分裂
成6个并死去一个，3小时后分裂成 10 个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（　　）
A．253 B．255 C．257 D．259
4．（2020 秋•红谷滩区校级期中）已知 1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…，按此规律 ，
1+3+5+…+19＝　 　．
5．（2020 秋•许昌期中）观察等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…．通过
观察，用你发现的规律确定 22021 的个位数是 　 　．
6．（2022•澧县模拟）观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，根据其中规
律可得 30+31+32+…+32022 的结果的个位数字是 　 　．
7．（2021•江华县一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1
+2
1
，f（2）＝1
+2
2
，f（3）
＝1
+2
3
，f（4）＝1
+2
4
，…．利用以上运算的规律求出 2021f（2021）＝　 　．
8．（2021 秋•吉安期中）观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…将这列数排成下列形式：
按照上述规律排下去，那么第 10 行从左边数第 9个数是　 　；数﹣201 是第　 　行从左边数第
个数．
9．（2021 春•滨湖区期中）观察以下一系列等式：
①313﹣0＝（3 1﹣ ）×30＝2×30；
②323﹣1＝（3 1﹣ ）×31＝2×31；
③333﹣2＝（3 1﹣ ）×32＝2×32；
④343﹣3＝（3 1﹣ ）×33＝2×33；……
利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝　 　．
10．找规律，完成下列各题：
（1）如图①，把正方形看作 1，
1
2+1
4=1−1
4=¿
　 　．
（2）如图②，把正方形看作 1，
1
2+1
4+1
8=1−1
8=¿
　 　．
（3）如图③，把正方形看作 1，
1
2+1
4+1
8+1
16 =1−¿
　 　＝　 　．
（4）计算：
1
2+1
4+1
8+1
16 +1
32 =¿
　 　．
（5）计算：
1
2+1
4+1
8+1
16 +1
32 +1
64 +1
128 +1
256 +1
512 =¿
　 　．
11．（2020•砚山县三模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1
+2
1
，f（2）＝1
+2
2
，f（3）＝1
+2
3
，f（4）＝1
+2
4
⋯
（1）利用以上运算的规律写出 f（n）＝　 　；（n为正整数）
（2）计算：f（1）•f（2）•f（3）…f（100）的值．
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