《2022-2023学年七年级数学上册从重点到压轴（浙教版）》专题2.4 有理数的规律问题（重点题专项讲练）（浙教版）（解析版）

3.0 envi 2025-05-05 12 4 108.54KB 16 页 3知币
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专题 2.4 有理数的规律问题
【典例 1】观察下列各式：
13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；
13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；
13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；
猜想并填空：
（1）13+23+33+43+53＝　 　2＝　 　2；
根据以上规律填空：
（2）13+23+33+…+n3＝　 　2＝　 　2；
（3）求解：163+173+183+193+203．
【思路点拨】
（1）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（2）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（3）利用（2）中的结论进行计算．
【解题过程】
解：（1）由题意可得：
13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152，
故答案为：（1+2+3+4+5）；15；
（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+...+n）2＝[
n(n+1)
2
]2，
故答案为：（1+2+3+...+n）；[
n(n+1)
2
]；
（3）原式＝（13+23+33+…+163+173+183+193+203）﹣（13+23+33+…+153）
＝（1+2+3+...+20）2﹣（1+2+3+...+15）2
＝[
20×(1+20)
2
]2[﹣
15×(1+15)
2
]2
＝2102120﹣2
＝44100 14400﹣
＝29700．
1．（2022•从化区一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；
（2）f（
1
2
）＝2，f（
1
3
）＝3，f（
1
4
）＝4…．
利用以上规律计算：f（2022）﹣f（
）等于（　　）
A．2021 B．2022 C．
D．
【思路点拨】
从已知可得，n为正整数时，f（n）＝2n，f（
1
n
）＝n，从而可得答案．
【解题过程】
解：由（1）知 f（2022）＝2022×2＝4044，
由（2）知 f（
1
2022
）＝2022，
∴f（2022）﹣f（
）
＝4044 2022﹣
＝2022，
故选：B．
2．（2020 秋•历下区校级月考）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第 1次向右跳 2个单位长度，第 2次向左
跳4个单位长度，第 3次向右跳 6个单位长度，第 4次向左跳 8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第
2020 次落下时，落点表示的数是（　　）
A．2019 B．2020 C．﹣2020 D．1010
【思路点拨】
数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可．
【解题过程】
解：设向右跳动为正，向左跳动为负，
由题意可得（+2）+（﹣4）+（+6）+（﹣8）+…+[4034+（﹣4036）]+[4038+（﹣4040）]
＝（2 4﹣ ）+（6 8﹣ ）+（10 12﹣ ）+…+（4034 4036﹣ ）+（4038 4040﹣ ）
＝﹣2020，
故选：C．
3．（2022 春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成 4个并死去一个，2小时后分裂
成6个并死去一个，3小时后分裂成 10 个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（　　）
A．253 B．255 C．257 D．259
【思路点拨】
根据题意，n个小时后细胞存活的个数是 2n+1，求出 n＝8时的值即可．
【解题过程】
解：根据题意，1小时后分裂成 4个并死去 1个，剩 3个，3＝2+1；
2小时后分裂成 6个并死去 1个，剩 5个，5＝22+1；
3小时后分裂成 10 个并死去一个，剩 9个，9＝23+1；
……
n个小时后细胞存活的个数是 2n+1，
当n＝8时，存活个数是 28+1＝257．
故选：C．
4．（2020 秋•红谷滩区校级期中）已知 1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…，按此规律 ，
1+3+5+…+19＝　 100 　 ．
【思路点拨】
由该一连串的等式可以看出从 1开始 n个连续的奇数的和等于 n2，所以可以得出 1+3+5+7+…+19＝102，即
从1开始 10 个连续的奇数相加．
【解题过程】
解：由 1+3＝22，从 1开始连续 2个奇数相加；
1+3+5＝32，从 1开始连续 3个奇数相加；
1+3+5+7＝42，从 1开始连续 4个奇数相加；
…
所以可以推出：从 1开始连续 10 个奇数相加的和等于 102，即：1+3+5+7+…+19＝102＝100．
故答案为：100．
5．（2020 秋•许昌期中）观察等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…．通过
观察，用你发现的规律确定 22021 的个位数是 　 2 　 ．
【思路点拨】
由题意可得 2n的个位数字按 2，4，8，6四次一循环的规律出现可确定此题结果．
【解题过程】
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