《2022-2023学年七年级数学上册从重点到压轴（浙教版）》专题2.3 新定义问题（压轴题专项讲练）（浙教版）（原卷版）

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专题 2.3 新定义问题
【典例 1】小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘
方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为
0）的除法运算叫做除方，如 5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把
5÷5÷5 记作 f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作 f（4，﹣2）．
（1）直接写出计算结果，f（4，
1
2
）＝　 　，f（5，3）＝　 　；
（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 　 　．（填序号）
①f（6，3）＝f（3，6）；
②f（2，a）＝1（a≠0）；
③对于任何正整数 n，都有 f（n，﹣1）＝1；
④对于任何正整数 n，都有 f（2n，a）＜0（a＜0）．
（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出
“除方”的运算公式 f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结
果用含 a，n的式子表示）
（4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4，
1
3
）×f（5，﹣2）×f（6，
1
2
）．
【思路点拨】
（1）根据题意计算即可；
（2）①分别计算 f（6，3）和 f（3，6）的结果进行比较即可；
②根据题意计算即可判断；
③分为 n为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断；
④2n为偶数，偶数个 a相除，结果应为正；
（3）推导 f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），按照题目中的做法推到即可；
（4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算．
【解题过程】
解：（1）f（4，
1
2
）
¿1
2÷1
2÷1
2÷1
2=¿
4，
f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3
¿1
27
；
故答案为：4；
1
27
．
（2）① f（6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3
，f（3，6）＝6÷6÷6
¿1
6
，
∴f（6，3）≠f（3，6），故错误；
②f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故正确；
③对于任何正整数 n，当 n为奇数时，f（n，﹣1）＝﹣1；当 n为偶数时，f（n，﹣1）＝1．故错误；
④对于任何正整数 n，2n为偶数，所以都有 f（2n，a）＞0，而不是 f（2n，a）＜0（a＜0），故错误；
故答案为：②．
（3）公式 f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an2﹣）＝（
1
a
）n2﹣（n为正整数，a≠0，n≥2）．
（4）f（5，3）×f（4，
1
3
）×f（5，﹣2）×f（6，
1
2
）
¿1
27 ×
9×（
−1
8
）×16
¿−2
3
．
1．（2022•长安区模拟）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数 a和b，规定 a☆b＝ab﹣b2．如
（﹣1）☆2＝（﹣1）22﹣2＝﹣3，则（﹣2）☆（﹣1）的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C．
3
2
D．
−3
2
2．（2021 秋•东港区期末）已知 a、b皆为正有理数，定义运算符号为※：当 a＞b时，a※b＝2a；当 a＜b
时，a※b＝2b﹣a，则 3※2﹣（﹣2※3）等于（　　）
A．﹣2 B．5 C．﹣6 D．10
3．（2022•武威模拟）用“*”定义新运算，对于任意有理数 a、b，都有 a*b＝b31﹣ ，则
1
2
*[3*（﹣1）]的
值为（　　）
A．﹣1 B．﹣9 C．
−1
2
D．0
4．（2021 秋•洪山区期末）定义：如果 a4＝N（a＞0，且 a≠1），那么 x叫做以 a为底 N的对数，记作 x＝
logaN．例如：因为 72＝49，所以 log749＝2；因为 53＝125，所以 log5125＝3．则下列说法中正确的有（
）个．① log66＝36；② log381＝4；③若 log4（a+14）＝4，则 a＝50；④ log2128＝log216+log28；
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2021 秋•顺城区期末）观察下列两个等式：1
−2
3=¿
2×1
×2
3−¿
1，2
−3
5=¿
2×2
×3
5−¿
1，给出定义如
下：我们称使等式 a﹣b＝2ab 1﹣ 成立的一对有理数 a，b为“同心有理数对”，记为（a，b），如：数对
（1，
2
3
），（2，
3
5
）都是“同心有理数对”下列数对是“同心有理数对”的是（　　）
A．（﹣3，
4
7
）B．（4，
4
9
）C．（﹣5，
6
11
）D．（6，
7
13
）
6．（2020 秋•旌阳区期末）定义一种对正整数 n的“F”运算：①当 n为奇数时，结果为 3n+5；②当 n为偶
数时，结果为
n
2k
；（其中 k是使
n
2k
为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取 n＝26．则：
若n＝49，则第 2021 次“F”运算的结果是（　　）
A．68 B．78 C．88 D．98
7．（2021 秋•大连月考）我们对任意四个有理数 a，b，c，d定义一种新的运算：
|
a b
c d
|
=¿
ad﹣bc．则
|
−4−2
3 1
|
的值为 　 　．
8．（2021 秋•郧西县月考）我们定义一种新运算，规定：图 表示 a﹣b+c，图形 表示﹣x+y
﹣z，则 +的值为　 　．
9．（2020 秋•青浦区期中）若定义新的运算符号“*”为a*b
¿a+1
b
，则（
1
3
*
1
2
）*2＝　 　．
10．（2021 秋•西城区校级期中）用“△”定义新运算：对于任意有理数 a、b，当 a≤b时，都有 a△b＝
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