《2022-2023学年七年级数学上册从重点到压轴（浙教版）》专题2.3 新定义问题（压轴题专项讲练）（浙教版）（解析版）
专题 2.3 新定义问题
【典例 1】小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘
方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为
0）的除法运算叫做除方，如 5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把
5÷5÷5 记作 f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作 f（4，﹣2）．
（1）直接写出计算结果，f（4，
1
2
）＝ ，f（5，3）＝ ；
（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号）
①f（6，3）＝f（3，6）；
②f（2，a）＝1（a≠0）；
③对于任何正整数 n，都有 f（n，﹣1）＝1；
④对于任何正整数 n，都有 f（2n，a）＜0（a＜0）．
（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出
“除方”的运算公式 f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结
果用含 a，n的式子表示）
（4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4，
1
3
）×f（5，﹣2）×f（6，
1
2
）．
【思路点拨】
（1）根据题意计算即可；
（2）①分别计算 f（6，3）和 f（3，6）的结果进行比较即可；
②根据题意计算即可判断；
③分为 n为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断；
④2n为偶数，偶数个 a相除，结果应为正；
（3）推导 f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），按照题目中的做法推到即可；
（4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算．
【解题过程】
解：（1）f（4，
1
2
）
¿1
2÷1
2÷1
2÷1
2=¿
4，
f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3
¿1
27
；
故答案为：4；
1
27
．
（2）① f（6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3
¿1
81
，f（3，6）＝6÷6÷6
¿1
6
，
∴f（6，3）≠f（3，6），故错误；
②f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故正确；
③对于任何正整数 n，当 n为奇数时，f（n，﹣1）＝﹣1；当 n为偶数时，f（n，﹣1）＝1．故错误；
④对于任何正整数 n，2n为偶数，所以都有 f（2n，a）＞0，而不是 f（2n，a）＜0（a＜0），故错误；
故答案为：②．
（3）公式 f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an2﹣）＝（
1
a
）n2﹣（n为正整数，a≠0，n≥2）．
（4）f（5，3）×f（4，
1
3
）×f（5，﹣2）×f（6，
1
2
）
¿1
27 ×
9×（
−1
8
）×16
¿−2
3
．
1．（2022•长安区模拟）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数 a和b，规定 a☆b＝ab﹣b2．如
（﹣1）☆2＝（﹣1）22﹣2＝﹣3，则（﹣2）☆（﹣1）的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．
3
2
D．
−3
2
【思路点拨】
原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解题过程】
解：根据题中的新定义得：原式＝（﹣2）﹣1﹣（﹣1）2
¿−1
2−¿
1
¿−3
2
．
故选：D．
2．（2021 秋•东港区期末）已知 a、b皆为正有理数，定义运算符号为※：当 a＞b时，a※b＝2a；当 a＜b
时，a※b＝2b﹣a，则 3※2﹣（﹣2※3）等于（ ）
A．﹣2 B．5 C．﹣6 D．10
【思路点拨】
原式根据题中的新定义化简，计算即可求出值．
【解题过程】
解：根据题中的新定义得：3※2＝6，﹣2※3＝﹣（2×3 2﹣ ）＝﹣（6 2﹣ ）＝﹣4，
则原式＝6﹣（﹣4）＝10．
故选：D．
3．（2022•武威模拟）用“*”定义新运算，对于任意有理数 a、b，都有 a*b＝b31﹣ ，则
1
2
*[3*（﹣1）]的
值为（ ）
A．﹣1 B．﹣9 C．
−1
2
D．0
【思路点拨】
根据 a*b＝b31﹣，可以求得所求式子的值．
【解题过程】
解：∵a*b＝b31﹣ ，
∴
1
2
*[3*（﹣1）]
¿1
2
*[（﹣1）31]﹣
¿1
2
*[（﹣1）﹣1]
¿1
2
*（﹣2）
＝（﹣2）31﹣
＝（﹣8）﹣1
＝﹣9，
故选：B．
4．（2021 秋•洪山区期末）定义：如果 a4＝N（a＞0，且 a≠1），那么 x叫做以 a为底 N的对数，记作 x＝
logaN．例如：因为 72＝49，所以 log749＝2；因为 53＝125，所以 log5125＝3．则下列说法中正确的有（
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2025-05-31 104
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