《2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）》[30221018]专题5.1 认识一元一次方程（知识讲解）

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专题 5.1 认识一元一次方程（知识讲解）
【学习目标】
1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；
2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是
方程的解；
3. 理解并掌握等式的两个基本性质.
【要点梳理】
要点一、方程的有关概念
1．定义：含有未知数的等式叫做方程.
特别说明：
判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
特别说明：
判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中
未知数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，
否则不是．
3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.
要点二、一元一次方程的有关概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是 1，这样的方程叫做一元一次
方程.
特别说明： “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程;② 其次是必须只含有一个未知数;③ 未知数的指数是 1;④ 分母中不
含有未知数．
要点三、等式的性质
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
　　等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
　　如果 ，那么 (c 为一个数或一个式子) .
　　等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等.即：
如果 ，那么 ；如果 ，那么 .
特别说明：
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；
(2) 等式性质 1 中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式
不一定成立，
如 x＝0 中，两边加上 得 x＋ ，这个等式不成立;
(3) 等式的性质 2 中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．
【典型例题】
知识点一、一元一次方程的概念
1．已知关于 x 的方程（m+5）x|m|﹣4+18=0 是一元一次方程．试求：
（1）m 的值；
（2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）的值．
【答案】（1）m=5；（2）23．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义结合已知条件分析解答即可；
（2）先将原式化简，再将（1）中所得 m 的值代入计算即可.
解：（1）依题意有|m|﹣4=1 且 m+5≠0，解得 m=5；
（2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）=12m﹣3﹣6m﹣4=6m﹣7，
当 m=5 时，原式=6×5﹣7=23．
【点拨】熟悉“一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且含未知数的项的次数都是 1
的整式方程叫做一元一次方程，其一般形式为： （其中 是常数，且
）”是解答本题的关键.
举一反三：
【变式 1】 已知 是关于 的一元一次方程，求 的值．
【答案】5
【分析】根据一元一次方程的定义列出关于 m 和 n 的方程，求出方程的解得到 m，n 的值，
然后计算即可．
解：∵ 是关于 的一元一次方程，
∴2m 8−＝0，3n 2−＝1，
解得：m＝4，n＝1，
∴ .
【点拨】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
【变式 2】已知 是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义，令二次项系数等于 0，一次项系数不等于 0 列式求解
即可．
解：根据题意得， 且 ，
解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元一次方程的定义以及解绝对值方程，需要注意一次项的系数不等
于 0 的条件．
【变式 3】 已知关于 x 的方程（m－n）x2+mx+n=0，你认为：
（1）当 m 和 n 满足什么关系时，该方程是一元二次方程？
（2）当 m 和 n 满足什么关系时，该方程是一元一次方程？
【答案】（1）当 m≠n 时，方程是一元二次方程；（2）当 m=n 且 m≠0 时，方程是一元一
次方程
试题分析：（1）一元二次方程要求最高项次数为 2 且二次项系数不为 0，由题，只要
即可确定方程为一元二次方程.
（2）一元一次方程要求最高项次数为 1 且一次项系数不为 0，所以当方程同时满足
时，即可确定方程为一元一次方程.
试题解析：（1）根据题意得：m－n≠0，解得：m≠n；
（2）根据题意得： ，
解得： ．
当 且 时，方程是一元一次方程．
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