《2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）》[29224289]专题2.22 有理数的乘方（知识讲解）册

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专题 2.22 有理数的乘方（知识讲解）
【学习目标】
1．理解有理数乘方的定义；
2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；
【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：
n
a a a a
n
  
   
个
.在
n
a
中，
a
叫做底数， n 叫做指数.
特别说明：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5 就是 51，指数 1 通常省略不写．
2. 性质：
要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0 的任何正整数次幂都是 0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ．
特别说明：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再
计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
【典型例题】
类型一、有理数的幂的概念的理解
1．填表：
乘方 65(－5)4－27
底数
指数
【分析】根据有理数乘方的定义解答即可．
解：填表如下：
【点拨】本题考查了有理数乘方的定义，属于应知应会题型，熟知概念是关键．
举一反三：
【变式 1】 把下列各式用幂的形式表示，并说出底数和指数：
（1）（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）；（2） ．
【答案】（1）（﹣3）3，底数为﹣3，指数为 3；（2）（+）4，底数为+，指数为 4．
【分析】（1）（2）都是相同的几个数字相乘，根据乘方的定义即可解答.
解：（1）( 3)×( 3)×( 3)﹣ ﹣ ﹣ ＝( 3)﹣3，底数为﹣3，指数为 3；
（2） ＝ 4, 底数为+，指数为 4.
【点拨】求 n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，记作 an，其中 a叫做
底数，n叫做指数.
【变式 2】小明学习了“第八章 幂的运算”后做这样一道题：若（2x 3﹣）x+3=1，
求x的值，他解出来的结果为 x=2，老师说小明考虑问题不全面，聪明的你能帮助
小明解决这个问题吗？
小明解答过程如下：
解：因为 1的任何次幂为 1，所以 2x 3=1﹣，x=2．且 2+3=5
故（2x 3﹣）x+3=（2×2 3﹣）2+3=15=1，所以 x=2
你的解答是：
【答案】x=2 或3或1．
【解析】试题分析：分别从底数等于 1，底数等于 - 1 且指数为偶数，指数等于 0且底数不
等于 0去分析求解即可求得答案．
解：①∵1的任何次幂为 1，所以 2x - 3=1，x=2．且 2+3=5，
∴（2x - 3）x+3=（2×2 - 3）2+3=15=1，
∴x=2；
②∵ - 1 的任何偶次幂也都是 1，
∴2x - 3= - 1，且 x+3 为偶数，
∴x=1，
当x=1 时，x+3=4 是偶数，
∴x=1；
③∵任何不是 0的数的 0次幂也是 1，
∴x+3=0，2x - 3≠0，
解得：x= - 3，
综上：x=2 或3或1．
【点拨】此题考查了零指数幂的性质与有理数的乘方．此题难度适中，注意掌握分类讨论
思想的应用．
类型二、有理数乘方的运算
2．计算：（﹣48）÷（﹣2）3﹣（﹣25）×（﹣4）+（﹣2）2．
【答案】 - 90.
【分析】根据有理数混合运算的运算顺序, 先算乘方再算乘除最后算加减, 计算即可.
. 原式= 48÷﹣（﹣8）﹣100+4
=6 100+4= 90﹣ ﹣ ．
【点拨】本题考查的是有理数的混合运算能力. 注意要正确掌握运算顺序.
举一反三：
【变式 1】计算：﹣32+[9﹣（﹣6）×2]÷（﹣3）
【答案】 - 16.
【分析】原式先计算乘方运算,再计算括号内及乘除运算,最后算加减运算即可得到结果.
解：原式= 9+﹣（9+12）÷（﹣3）
= 9+21÷﹣（﹣3）
= 9+﹣（﹣7）
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