《2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）》[29109756]专题2.9 绝对值（知识讲解）册基础知识

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专题 2.9 绝对值（知识讲解）
【学习目标】
1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；
2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；
3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；
4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题；
5.理解并掌握分类讨论思想、数形结合思想.
【要点梳理】
要点一、绝对值
1.定义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|.
特别说明：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
0 的绝对值是 0．即对于任何有理数 a 都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距
离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或 0．
要点二、有理数的大小比较
1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与 b 在数轴
上的位置如图所示，则 a＜b．
2.法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号 正数大于负数
－数为 0
正数与 0：正数大于 0
负数与 0：负数小于 0
特别说明：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）
比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3. 作差法：设 a、b 为任意数，若 a-b＞0，则 a＞b；若 a-b＝0，则 a＝b；若 a-b＜0，a＜
b；反之成立．
4. 求商法：设 a、b 为任意正数，若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则
；反之也成立． 若 a、b 为任意负数，则与上述结论相反．
5. 倒数比较法：如果两个数都大于 0，那么倒数大的反而小.
　【典型例题】
类型一、绝对值的意义
1．（2019·广西防城港市·七年级期中）若 x的相反数是 3， ，且 ，求
的值.
【答案】-5
【分析】根据相反数、绝对值求出 x，y的值，代入代数式，即可解答.
解：∵x的相反数是 3，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，，
∴.
【点拨】本题考查了相反数、绝对值，解决本题的关键是熟记相反数、绝对值的定义.
举一反三：
【变式 1】（2020·山东临沂市·）绝对值大于 4而小于 7的所有整数之和是________．
【答案】0
【解析】∵绝对值大于 4而小于 7的所有整数有：-6，-5，6,5，
∴它们的和为：-6-5+6+5=0.
点拨：本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值是表示一个数的点到原点的距离，
而距离不分正负，所以要从正、负两个方向上找符合条件的数，特别不要遗漏负方向上的
数.
【变式 2】 （2018·湖南省长沙市百熙实验学校七年级月考）如果数 a的相反数是最大的负
整数，数 b是绝对值最小的数，数 c是最小的正整数,那么 a b c=
（________________）
【答案】0
【解析】
【分析】根据相反数、负整数、绝对值、正整数的定义及性质进行分析．
解：∵最大的负整数为−1，
∴a的相反数为−1，则 a＝1；
∵绝对值最小的数为 0，
∴b＝0；
∵最小的正整数为 1，
∴c＝1；
则a＋b-c＝1＋0-1＝0．
故答案为：0.
【点拨】此题主要考查相反数、负整数、绝对值、正整数的定义及性质，难度不大．
类型二、求一个数的绝对值
2．（2020·全国七年级课时练习）有理数 a、b在数轴上如图，
（1）在数轴上表示﹣a、﹣b；
（2）试把这 a、b、0、﹣a、﹣b五个数按从小到大用“＜”连接．
（3）用＞、=或＜填空：|a|　　a，|b|　　b．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）＞，=．
【分析】
（1）根据已知a b 的位置在数轴上把-a-b 表示出来即可；
（2）根据数轴上右边的数总比左边的数大比较即可；
（3）|a|是一个正数，a是一个负数，比较即可；b是一个正数，正数的绝对值等于它本身
比较即可．
解：（1）在数轴上表示为：
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