[30601609]专题4.43 《图形的相似》全章复习与巩固（知识讲解）-九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 4.43 《图形的相似》全章复习与巩固（知识讲解）

【学习目标】

1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；

2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、

对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三

角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；

3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受

位似变换后点的坐标的变化；

4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能

力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.

【要点梳理】

要点一：相似图形及比例线段

1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).

特别说明：

　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两

个图形全等；

2.相似多边形

如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．

特别说明：

（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．

（2）相似多边形对应边的比称为相似比.

3. 比例线段：对于四条线段

、

，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相

等，如

，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

特别说明：

（1）若

，则

ad=bc

；（d 也叫第四比例项）

（2）若

b=b

，则

=ac

（

称为

、

的比例中项）．

要点二：相似三角形

1. 相似三角形的判定:

判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角

形相似.

判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　

判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么

这两个三角形相似.

特别说明：

　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个

角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.

判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这

两个三角形相似.

特别说明：

　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于

直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.

2. 相似三角形的性质：

（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；

（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；

相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.

特别说明：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.

(3) 相似三角形周长的比等于相似比；

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

3.相似多边形的性质：

（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

（2）相似多边形的周长比等于相似比．

（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．

要点三：位似

1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同

一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

2.位似图形的性质:

（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

特别说明：

(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能

构成位似图形.

（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点

为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或-k.

【典型例题】

类型一、相似图形及比例线段

1．如图，在中，点是边上的一点.

（1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；

（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若，求的值.

【答案】（1）见解析；（2）.

【分析】(1)以点 B为圆心，以任意长为半径画弧，交 BA、BC 于点 F、G，以点 D为

圆心，以 BF 长为半径画弧，交 DA 于点 M，再以M为圆心，以 FG 长为半径画弧，与前弧

交于点 H，过点 D、H作射线，交 AC 于点 E，由此即可得；(2)由(1)可知 DE//BC ，利用平

行线分线段成比例定理进行求解即可.

解答：(1)如图所示；

(2)∵，

∴.

【点拨】本题考查了作一个角等于已知角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握利用

尺规作一个角等于已知角的作图方法是解题的关键.

【变式1】如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E为边 BC 上一点，联结AE 并延长交

DC 的延长线于点 M，交 BD 于点 G，过点 G作GF∥BC 交DC 于点 F，．

（1）若 BD=20，求 BG 的长；

（2）求的值．

【答案】(1)8;(2)

【分析】

（1）由GF∥BC，可证，结合，整理可求出的值；

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