[30095672]专题6.4 反比例函数的图象和性质（一）（知识讲解）-九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 6.4 反比例函数的图象和性质（一）（知识讲解）

【学习目标】

1. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．

2. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．

3. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题．

【要点梳理】

要点一、确定反比例函数的关系式

确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个

待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的

值，从而确定其解析式.

　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：

　（1）设所求的反比例函数为： ( )；

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；

（3）解方程求出待定系数的值；

（4）把求得的值代回所设的函数关系式中.

要点二、反比例函数的图象和性质

　　1、反比例函数的图象特征：

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第

二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠

近两坐标轴.

特别说明：（1）若点( )在反比例函数的图象上，则点( )也在此图

象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；

（2）在反比例函数 ( 为常数， ) 中，由于，所

以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．

2、画反比例函数的图象的基本步骤：

（1）列表：自变量的取值应以 0 为中心，在 0 的两侧取三对（或三对以上）互为相反

数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；

（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；

（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量

从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠

近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；

（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第

一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．

3、反比例函数的性质

（1）如图 1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，

值随值的增大而减小；

　（2）如图 2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，

值随值的增大而增大；

特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减

情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的

位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.

【典型例题】

类型一、反比例函数的图象

1．已知函数 y1＝－ x2 和反比例函数 y2的图象有一个交点是 A（，－

1）．

（1）求函数 y2的解析式；

（2）在同一直角坐标系中，画出函数 y1和y2的图象草图；

（3）借助图象回答：当自变量 x在什么范围内取值时，对于 x的同一个值，都有 y1＜

y2？

【答案】（1）；（2）作图见解析；（3）x＜0，或 x＞.

分析：（1）利用 A点在二次函数的图象上，进而利用待定系数法求反比例函数解析

式即可；

（2）根据二次函数的性质以及反比例函数的性质画出草图即可；

（3）利用函数图象以及交点坐标即可得出 x的取值范围．

解：（1）把点 A（，-1）代入 y1=− x2，

得-1=− a，

∴a=3．

设y2=，把点 A（，-1）代入，

得îîk=− ，

∴y2=− ．

（2）画图；îîî

îî î

îîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîîî

（3）由图象知：当 x＜0，或 x＞时，y1＜y2．

点睛：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及二次函数的性质和比较函

数的大小关系，利用数形结合得出是解题关键．

举一反三：

【变式 1】作出函数 y＝的图象，并根据图象回答下列问题：

(1)当x＝－2时，求 y的值；

(2)当2＜y＜3时，求 x的取值范围；

(3)当－3＜x＜2时，求 y的取值范围．

【答案】（1）y=-6；（2）4＜x＜6；（3）y＜－4或y＞6.

【分析】

（1）把 x=-2 代入解析式求得 y的值；

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