[30095667]专题5.1 《投影与视图》全章复习与巩固（知识讲解）-九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 5.1 《投影与视图》全章复习与巩固（知识讲解）

【学习目标】

1.以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质；

2.通过讨论简单立体图形(包括相应的表面展开图)与它的三视图的相互转化，经历画图、识

图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力；

3.通过制作立体模型的学习，在实际动手中进一步加深对投影和视图知识的认识，在实践

活动中培养实际操作能力.

【要点梳理】

要点一：平行投影

　　1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的

投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的

光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：

　　(1)等高的物体垂直地面放置时，如图 1 所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

　　(2)等长的物体平行于地面放置时，如图 2 所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影

长等于物体本身的长度.

　　2. 物高与影长的关系

（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光

下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是

西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.

　　（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.

　　即： .

　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.

　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

特别说明：

　　1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知

识解题要分清不同时刻和同一时刻.

　　2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.

要点二：中心投影

　　若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投

影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光

源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个

结论：

(1)等高的物体垂直地面放置时，如图 1 所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子

短，离点光源远的物体它的影子长.

　　(2)等长的物体平行于地面放置时，如图 2 所示.一般情况下，离点光源越近，影子

越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在

影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.

特别说明：

光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该

物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.

要点三：中心投影与平行投影的区别与联系

1.联系：

　　（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下

所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所

形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的

光线.

　　（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中

心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，

固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.

2.区别：

　　（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，

灯光下的影子与物体高度不一定成比例.

　　（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方

向，也可能在不同方向.

特别说明：

　　在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们

的具体特点进一步解决问题.

要点四：正投影

　正投影的定义：

　　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平

行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即

投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂

直于投影面产生的投影叫做正投影.

　　(1)线段的正投影分为三种情况.如图所示.

　　 ①线段 AB 平行于投影面 P时，它的正投影是线段 A1B1，与线段 AB 的长相等；

　　 ②线段 AB 倾斜于投影面 P时，它的正投影是线段 A2B2，长小于线段 AB 的长；

　　 ③线段 AB 垂直于投影面 P时，它的正投影是一个点.

　　(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示.

　　 ①当平面图形平行于投影面 Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相

同，即正投影与这个平面图形全等；

　　 ②当平面图形倾斜于投影面 Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小

发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.

　　 ③当平面图形垂直于投影面 Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.

　　(3)立体图形的正投影.

　　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平

行于投影面且过立体图形的最大截面全等.

特别说明：

　　(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.

　　(2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影.

　　(3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这

个物体看到的图象之间是有联系的.

要点五：三视图

1.三视图的概念

　　（1）视图

　　从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.

　　（2）正面、水平面和侧面

　　用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做

水平面，右边的面叫做侧面.

　　（3）三视图

　　一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图

叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的

由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.

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