[29908976]专题4.28 图形的位似（知识讲解）上册基-九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 4.28 图形的位似（知识讲解）

【学习目标】

1.了解图形的位似，明确位似变换是特殊的相似变换；

2.能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；

【要点梳理】

知识点 1：位似图形概念

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这

样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

知识点 2：位似图形的性质

（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

特别说明：

（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未

必能构成位似图形.

（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以

原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或-k.

知识点 3：平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：

3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：

图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没

有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．

知识点 4：作位似图形的步骤

　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；

　　第二步：作位似中心与各关键点连线；

　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；

　　第四步：顺次连接各对应点.

特别说明：

位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中

心不同的画法.

【典型例题】

类型一、位似图形的识别

1．如图所示，印刷一张矩形的张贴广告，它的印刷面积是 32d m2，两边空白各

0.5 dm，上下空白各 1 dm，设印刷部分从上到下长是 xdm，四周空白的面积为 Sdm2.

(1)求S与x的关系式.

(2)当要求四周空白处的面积为 18 dm2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多

少?

(3)在(2)问的条件下，内外两个矩形是位似图形吗?为什么?

【答案】(1)S=2x+2.(2)长10 dm,宽5 dm.（3）见解析.

【分析】

（1）仔细观察图形可知，四周空白处的面积=矩形 ABCD 的面积-矩形 A′B′C′D′的面积，

再结合题目中的信息即可得到 S与x的关系式；

（2）将 S=18 代入上式，可以得到一个关于 x的方程，解方程即可求得此时印刷部分

的长，进而解答第二问；

（3）根据位似图形的判定定理即可证明内外两个图形是位似图形.

解：（1）根据题意，得

S=( +2×0.5)×(x+2×1)-32

即：S=x+ +2.

答：S与x的关系式为 S=x+ +2.

（2）由题意可知 S=18，即

x+ +2=18，

解得 x=8.

所以用来印刷这张广告纸的长为 8+2×1=10（dm），宽为 +2×0.5=5（dm）.

答：用来印刷这张广告纸的长为 10 dm，宽为 5 dm.

（3）内外两个矩形是位似图形，理由如下：

∵内外两矩形的长宽比各为 =2 和=2，

即：内外两个矩形的长宽比相等.

∴ = = = ，

即： = = = .

∵矩形的各角都是 90°，

∴矩形 ABCD∽矩形 A′B′C′D′，

∵AC 和BD、A′C′和B′D′都相交于一点，

∴矩形 ABCD 与矩形 A′B′C′D′是位似图形.

故答案为(1)S=2x+2.(2)长10 dm,宽5 dm.（3）见解析.

【点拨】本题考查用关系式表示变量间关系，位似的性质.

【变式】下图中，△ABC 与△DEF 是位似图形.那么，DE 与AB 平行吗?为什么?EF

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