[29908972]专题4.24 相似三角形的性质（知识讲解）-九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 4.24 相似三角形的性质（知识讲解）

【学习目标】

1、理解并掌握相似三角形的性质，注意对应点、对应线段、对应角写在对应位置上；

2、灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算；

3、运用相似三角形的性质解决综合问题。

【要点梳理】

性质 1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.

性质 2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.

相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.

特别说明：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.

性质 3：相似三角形周长的比等于相似比

如图一： ∽ ，则

由比例性质可得：

图一

性质 4：相似三角形面积的比等于相似比的平方

如图二， ∽ ，则分别作出与的

高和，则

1 1

2 2 =

1 1

2 2

ABC

BC AD k B C k A D

SB C A D B C A D

  

   

   

 

       

 

△

图二

特别说明：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.

【典型例题】

类型一、运用相似三角形性质求解

1．．在△ABC 中， AB=12，AC=9，点 D、E分别在边 AB、AC 上，且△ADE

与△ABC 与相似，如果 AE=6，那么线段 AD 的长是______．

【答案】8或；

【分析】当，根据相似的性质得；当，根据

相似的性质得，然后分别利用比例性质求解即可．

解：，

当，则，即，解得；

当，则，即，解得，

综上所述，的长为 8或．

故答案为：8或．

【点拨】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相

等．解决本题时分类讨论边与边的对应关系是解题的关键.

【变式 1】已知：如图，在△ABC 中，D是AC 上一点，，△BCD 的

周长是 24cm．

（1）求△ABC 的周长；

（2）求△BCD 与△ABD 的面积比．

【答案】(1)36cm; (2)

【解析】（1）根据相似三角形的周长的比等于相似比进行计算即可；

（2）根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可．

解：（1） ∵ ，

∴ ∽

∴

∵ 的周长是 cm

∴ 的周长是

（2） ∵ ∽

∴

【变式 2】如图，在锐角三角形 ABC 中，点 D，E分别在边 AC，AB 上，AG⊥BC 于

点G，AF⊥DE 于点 F，∠EAF=∠GAC．

（1）求证：△ADE∽△ABC；

（2）若 AD=3，AB=5，求的值．

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