[29900029]专题4.20 利用相似三角形测高（知识讲解）-九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 4.20 利用相似三角形测高（知识讲解）

【学习目标】

1、理解并掌握用不同方法构造相似三角形测高的原理

2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，掌握把实际问题抽象为数学问题方法.

【要点梳理】

要点一：利用相似三角形测量高度

测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”

的原理解决.

特别说明：测量旗杆的高度的几种方法：

平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法

要点二：利用相似三角形测量距离

2.测量距离

测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段 DC、BD、CE 的距离（长度），根据相似三

角形的性质，求出 AB 的长.

2．如乙图所示，可先测 AC、DC 及 DE 的长，再根据相似三角形的性质计算 AB 的长.

特别说明：　

1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;

　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物

体影子之比等于其对应高的比;

　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;

4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．

【典型例题】

类型一、利用相似三角形测高

1．如图，实验中学某班学生在学习完《利用相似三角形测高》后，利用标杆 BE

测量学校体育馆的高度．若标杆 BE 的高为 1.5 米，测得 AB=2 米，BC=14 米，求学校体育

馆CD 的高度．

【答案】CD=12．

【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得 CD 的长即可．

解：依题意得，又，

∴△AEB ADC∽△ ，

∴ ，即，

则CD=12．

【点拨】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角

形．

【变式 1】数学源于生活，又反过来服务于生活．赵博同学学习了相似三角形测高后，

想利用树影测出一棵高大的黄葛树树高，他在某时刻测得直立的标杆高 1.5 米，影长是 2米，

但他去测树影时，发现树影的上半部分落在墙 CD 上，（如图所示）他测得 BC= 12 米，

CD=1.2 米．你能根据他测出的数据求出树高为多少米吗？

【答案】10.2 米．

【分析】连接 AD 并延长交 BC 的延长线于 E,再求出 CE 的长，进而求出 BE 的长，由

△ABE DCE∽△ ，则相似三角形的性质列式求解即可．

解：如图：连接 AD 并延长交 BC 的延长线于 E

∵某时刻测得直立的标杆高 1.5 米，影长是 2米

∴ ,

∵CD=1.2

∴CE=1.6

∴BE=BC+CE=13.6

∵△ABE DCE∽△

∴,即,解得 AB=10.2

∴树高为 10.2 米．

【点拨】本题主要利用相似三角形的性质，做出辅助线构造相似三角形以及理解同一

时刻树高和影长之比不变是解答本题的关键．

【变式 2】某班在学习《利用相似三角形测高》时开展了“测量学校操场上旗杆的高

度”的活动．小明将镜子放在离旗杆 32m的点 C处（即 AC＝32m），然后沿直线 AC 后退，

在点 D处恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图），根据物理学知

识可知：法线 l⊥AD，∠1＝∠2．若小明的眼睛离地面的高度 DE 为1.5m，CD＝3m，求旗

杆AB 的高度．（要有证明过程，再求值）

【答案】旗杆 AB 的高度为 16m．

【分析】直接利用已知进而得出△ECD BCA∽△ ，即可得到，代入数据即可

求得旗杆 AB 的高度．

解：∵法线 l⊥AD，∠1= 2∠，

∴∠ECD= BCA∠，

又∵∠EDC= BAC=90°∠，

∴△ECD BCA∽△ ，

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