[29498701]专题2.3 用配方法求解一元二次方程（知识讲解）九年-九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 2.3 用配方法求解一元二次方程（知识讲解）

【学习目标】

1．了解配方法的概念，会用直接开平方法和配方法解一元二次方程；

2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；

3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应

用意识和能力.

【要点梳理】

知识点一、一元二次方程的解法---直接开平方法

(1) 直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方

法称为直接开平方法.

(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.

(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

　①形如关于 x的一元二次方程，可直接开平方求解.

　若，则；表示为，有两个不等实数根；

　若，则 x=O；表示为，有两个相等的实数根；

　若，则方程无实数根．

(2) ②形如关于 x的一元二次方程，可直接开平方求解，两

根是

特别说明：

用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是

含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.

知识点二、一元二次方程的解法---配方法

配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：

将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解

一元二次方程的方法叫配方法.

　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式： .

　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：

　　　①把原方程化为的形式；

　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为

1；

　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，

则判定此方程无实数解.

特别说明：

（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；

（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.

（3）配方法的理论依据是完全平方公式

2 2 2

2 ( )a ab b a b   

．

知识点二、配方法的应用

1．用于比较大小：

在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零

（或小于零）而比较出大小.

2．用于求待定字母的值：

配方法在求值中的应用，将原等式右边变为 0，左边配成完全平方式后，再运用非负

数的性质求出待定字母的取值．

3．用于求最值：

“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．

4．用于证明：

“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”

在二次函数中也有着广泛的应用．

特别说明：

“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等

关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把

它学好．

　【典型例题】

类型一、用直接开平方法解一元二次方程

1．下列方程不能用直接开平方法求解的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】根据直接开方法求一元二次方程的解的类型客直接得出答案．

【详解】能用直接开平方法求解的是：、和；

故选 C．

【点拨】此题考查了解一元二次方程-公式法，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：

x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且 a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且

a≠0）．

举一反三：

【变式 1】（1）用直接开平方法解方程，得方程的根是（）

A． B．

C．， D．

【答案】C

【分析】先移项、系数化 1，则可变形为，然后利用数的开方解答，求出

的值，进而求．

解：移项得,

两边同除 3得,

开方得,

所以

故选:C．

【点拨】考查一元二次方程的解法—直接开方法，运用整体思想，把看做一个整体．

（2）．用直接开平方法解方程(x－3)2=8 得方程的根为（）

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