（挑战压轴）专题1.7 二次函数与几何综合-特殊平行四边形存在问题(解析版）-2022-2023学年九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》（浙教版）

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（挑战压轴）专题 1.7 二次函数与几何综合-特殊平行四边形存在问题

【方法技巧】

知识总结：

线段中点坐标公式

2.平行四边形顶点公式：

分类：

三个定点，一个动点问题

已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公

式列方程（组）求解。这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往

往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论；

两个定点、两个动点问题

这中题型往往比较特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在 x轴（y轴）或对称轴或某

一条直线上。设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在 x轴上，纵坐标为 0，则用平行

四边形顶点纵坐标公式；若在 y轴上，横坐标为 0，则用平行四边形顶点横坐标公式。该

动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式。

方法总结：

这种题型，关键是合理有序分类：无论式三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的

动点作为第四个动点，其余三个作为顶点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分

类，份三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组），这种解法，

不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，

而且适用范围广，其本质用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、属性结合

的思想。

【真题演练】

【考点 1 三定一动类型】

1.（2022•乐业县二模）如图，抛物线 y＝ax2+bx 3﹣与x轴交于 A（﹣1，0）、B（3，0）两

点，直线 l与抛物线交于 A、C两点，其中点 C的横坐标是 2．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点 P，使得△PBC 的周长最小，并求出点 P的坐标；

（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点 E，使得以 E、A、B、C为顶点的四边形是平

行四边形？若存在，求出点 E的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx 3﹣与x轴交于 A（﹣1，0）、B（3，0）两点，

∴ ，

解得：，

∴抛物线的函数表达式为 y＝x22﹣x3﹣；

（2）∵y＝x22﹣x3﹣＝（x1﹣）24﹣，

∴抛物线的对称轴为 x＝1，

∵A、B关于直线 x＝1对称，所以 AC 与对称轴的交点为点 P，

此时 C△PBC＝PB+PC+BC＝AC+BC，

此时△BPC 的周长最短，

∵点 C的横坐标是 2，

yC＝222×2 3﹣ ﹣ ＝﹣3，

∴C（2，﹣3），

设直线 AC 的解析式为 y＝mx+n（m≠0），

∴ ，

解得：，

∴直线 AC 的解析式为 y＝﹣x1﹣，

当x＝1时，y＝﹣1 1﹣＝﹣2，

∴P（1，﹣2）；

（3）存在一点 E，使得以 E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形．

∵A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设 E（x，y），

①当AB 为对角线时，

则，

解得：，

∴E（0，3）；

②当AC 为对角线时，

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