（挑战压轴）专题1.5 二次函数与几何综合-面积问题（解析版）-2022-2023学年九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》（浙教版）

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（挑战压轴）专题 1.5 二次函数与几何综合-面积问题

【方法技巧】

【方法 1直接法】

一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边

【方法 2 铅锤法】

（1）求

、

两点水平距离，即水平宽；

（2）过点

作

轴垂线与

交于点

，可得点

横坐标同点

；

（3）求直线

解析式并代入点

横坐标，得点

纵坐标；

（4）根据

、

坐标求得铅垂高

（5）

【方法 3 其他面积方法】

如图 1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．

如图 2，同底三角形的面积比等于高的比．

如图 3，同高三角形的面积比等于底的比．

如图 1 如图 2 如图 3

【方法 4 利用相似性质】

利用相似图形，面积比等于相似比的平方。

【真题演练】

1.（娄底）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c与x轴交于点 A（﹣1，0），点 B（3，0），与 y轴

交于点 C，且过点 D（2，﹣3）．点 P、Q是抛物线 y＝ax2+bx+c上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 P在直线 OD 下方时，求△POD 面积的最大值．

【答案】（1）：y＝x22﹣x3﹣ （2）① ﹣m2+m+3 ②

【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x3﹣），将点 D坐标代入上式并解

得：a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x22﹣x3…﹣ ①；

（2）设点 P（m，m22﹣m3﹣），

①当点 P在第三象限时，

设直线 PD 与y轴交于点 G，设点 P（m，m22﹣m3﹣），

将点 P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：

直线 PD 的表达式为：y＝mx 3 2﹣ ﹣ m，则 OG＝3+2m，

S△POD＝×OG（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，

②当点 P在第四象限时，

设PD 交y轴于点 M，

同理可得：S△POD＝×OM（xD﹣xP）＝﹣m2+m+3，

综上，S△POD＝﹣m2+m+3，

∵﹣1＜0，故 S△POD 有最大值，当 m＝时，其最大值为；

2.（聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+c与x轴交于点 A（﹣2，0），

点B（4，0），与 y轴交于点 C（0，8），连接 BC．又已知位于 y轴右侧且垂直于 x轴

的动直线 l，沿 x轴正方向从 O运动到 B（不含 O点和 B点），且分别交抛物线、线段

BC 以及 x轴于点 P，D，E．

（1）求抛物线的表达式；

（2）作 PF⊥BC，垂足为 F，当直线 l运动时，求 Rt△PFD 面积的最大值．

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