专题2.9 函数图象高与低，差值正负恒成立-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

3.0 envi 2025-05-05 14 4 1.97MB 28 页 3知币
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【 题型综述 】
数形结合好方法：
对于函数
f(x)
与
g(x)
的函数值大小问题，常常转化为函数 的图象在 上方（或
下方）的问题解决，而函数值的大小论证则常以构造函数
y=f(x)−g(x)
，即利用作差法，转化为论证
恒成立问题.
【典例指引】
例1．设函数 .
（1）若当 时，函数 的图象恒在直线 上方，求实数 的取值范围；
（2）求证： .
【思路引导】
（1）将问题转化为不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围的问题。可
构造函数 ，经分类讨论得到 恒成立时 的取值范围即
可。（2）先证明对于任意的正整数 ，不等式 恒成立，即 恒成立，
也即 恒成立，结合（1）③的结论，当 ， 时
在 上成立，然后令 可得
成立，再令 即可得不等式成立。
② 当 时 ， 有 ， 于 是 在 上 单 调 递 减 ， 从 而
，
因此 在 上单调递减，所以 ，不合题意；
③当 时，令 ，则当 时， ，于是
在 上单调递减，从而 ，
因此 在 上单调递减，所以 ，而且仅有 ，不合题意.
综上所求实数 的取值范围是 .学*科网
（2）对要证明的不等式等价变形如下：
对于任意的正整数 ，不等式 恒成立，
即 恒成立 ，变形为 恒成立，
在（1）③中，令 ， ，则得 在 上单调递减，
所以 ，即 ，[来源:学&科&网Z&X&X&K]
令 ，则得 成立.
当 时，可得 .
即 ，所以 成立。学*科网
点睛：本题难度较大，解题中连续用到了分类讨论、构造的方法。在（1）中将问题转化为不等式恒成立
的问题处理，在解题中需要在对参数 m分类讨论的基础上再求其值。（2）中的问题更是考查学 生的观察
分析问题的能力，在得到需要证明不等式 成立的基础上仍需作出相应的变形，并利用上一
问的结论来解决，所以需要学生具有较强的想象力。
例2．已知函数 ， （ 为常数，其中 是自然对数的底数）
（1）讨论函数 的单调性；
（2）证明：当 且 时，函数 的 图象恒在 的图象上方．
【思路引导】
（1）求出函数 的导数 ，利用导数判断 的单调性，并求出单调区间；（2）构造函数 ，
利用导数证明 在 上为增函数，且求得 得答案.
点睛：本题考查函数导数的综合应用问题，考查数学转化思想方法与分类讨论思想思想方法，是中档题；
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