专题2.8 欲证不等恒成立，结论再造是利器-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（原卷版）

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【 题型综述 】
利用导数解决不等式恒成立问题的策略：
利 用导数证明不等式，解决导数压轴题，谨记两点：
（Ⅰ）利用常见结论，如： ， ， 等；
（Ⅱ）利用同题上一问结论或既得结论．
【典例指引】
例1．已知 ，直线 与函数 的图像都相 切，且与函数
的图像的切点的横坐标为 1．
（I）求直线 的方程及 m的值；
（II）若 ， 求函数 的最大值．
（III ）当 时，求证：
例2．设函数 ， ，其中 R， …为自然对数的底数．
（Ⅰ）当 时， 恒成立，求 的取值范围；
（Ⅱ）求证： (参考数据： )．
例3．设 ．
（l）若 对一切 恒成立，求 的最大值；
（2）是否存在正整数 ，使得 对一切正整数 都成立 ？若存在，求 的最小
值；若不存在，请说明理由．
2
1 7
( ) ln , ( ) ( 0)
2 2
f x x g x x mx m  
l
( ), ( )f x g x
( )f x
l
( ) ( 1) '( )( )h x f x g x   其中g' ( x) 是g( x) 的导函数 ( )h x
0b a  ( ) (2 ) .
2
b a
f a b f a a
 
【新题展示】
1．【2019 安徽安庆上学期期末】（1）已知函数 ，求函数 在 时的值域；
（2）函数 有两个不同的极值点 ， ，
①求实数 的取值范围；
②证明： .
（本题中可 以参与的不等式： ， ）
[来源:Z*xx*k.Com]
2．【2019 河南驻马店上学期期末】设 和 是函数 的两个极值点，其中 ，
.
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，求 的最大值.
3．【2019 湖南益阳上学期期末】已知函数 .
（1）当 时，比较 与 的大小；
（2）若 有两个极值点 ，求证： .
4．【2019 广东韶关 1月调研】已知函数 （其中 是自然对数的底数）.
（1） 证明：①当 时， ；②当 时， .
（2）是否存在最大的整数 ，使得函数 在其定义域上是增函数？若存在，求 的值；
若不存在，请说明理由.
5．【2019 天津 部分区期末】已知函数 ，其中 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）记 的导函数为 ，若不等式 在区间 上恒成立，求 的取值范围；
（3）设函数 ， 是函数 的导函数，若 存在两个极值点 ， ，且满足
，求实数 的取值范围．
【同步训练】 [ 来源 : 学 * 科 * 网 ]
1．已知函数 ， ，（其中 ， 为自然对数的底数， ……）．
（1）令 ，若 对任意的 恒成立，求实数 的值；
（2）在（1）的条件下，设 为整数，且对于任意正整数 ， ，求 的最小值．
[来源:学_科_网]
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