专题2.8 欲证不等恒成立，结论再造是利器-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

3.0 envi 2025-05-05 4 4 2.62MB 38 页 3知币

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【题型综述】

利用导数解决不等式恒成立问题的策略：

利用导数证明不等式，解决导数压轴题，谨记两点：

（Ⅰ）利用常见结论，如：，，等；

（Ⅱ）利用同题上一问结论或既得结论．

【典例指引】

例1．已知，直线与函数的图像都相切，且与函数

的图像的切点的横坐标为 1．

（I）求直线的方程及 m的值；

（II）若，求函数的最大值．

（III）当时，求证：

1 7

( ) ln , ( ) ( 0)

2 2

f x x g x x mx m    

( ), ( )f x g x

( )f x

( ) ( 1) '( )( )h x f x g x   其中g' ( x) 是g( x) 的导函数 ( )h x

0b a  ( ) (2 ) .

b a

f a b f a a



  

，取最大值，其最大值为 2．

（III）

证明，当时，

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例2．设函数，，其中 R， …为自然对数的底数．

（Ⅰ）当时，恒成立，求的取值范围；

（Ⅱ）求证： (参考数据： )．

【思路引导】

当x=0时( )h x

( ) (2 ) ln( ) ln 2 ln ln(1 ).

2 2

a b b a

f a b f a a b a a a

 

       

0 , 0,

10.

2 2

Q b a a b a

b a

      



   

( 1,0)x  ln(1 ) , ln(1 ) .

2 2

b a b a

x x a a

 

    

( ) (2 ) .

b a

f a b f a a



   

（1）先构造函数，再对其求导得到

然后分和两种情形分类讨论进行分析求解：（2）借助（1）的结论，

当时，对恒成立，再令，得到即

；又由(Ⅰ)知，当时，则在递减，在递增，则，

即，又，即，令，即，则

，故有．

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