专题2.7 欲证不等恒成立，目标调整依形式-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

3.0 envi 2025-05-05 4 4 2.02MB 29 页 3知币
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【 题型综述 】
利用导数解决不等式恒成立问题的策略：
准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结
论 先行放缩，然 后再化简或者进一步利用导数证明.
【典例指引】
例1．已知函数
f(x)=ax−1−ln x
．
（Ⅰ）讨论函数
f(x)
在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数
f(x)
在
x=1
处取得极值，对
(0,+∞)
，
f(x)≥bx−2
恒成立，
求实数
b
的取值范围；
（Ⅲ）当
且
x≠e
时，试比较
y
x与1−ln y
1−ln x
的大 小．
令
g(x)= ex
ln (x+1)
，则只要证明
g(x)
在
(e−1,+∞)
上单调递增，
又∵
g'(x)=
ex
[
ln (x+1)− 1
x+1
]
ln2(x+1)
，学科&网
显然函数
h(x)=ln (x+1)− 1
x+1
在
(e−1,+∞)
上单调递增．
∴
h(x)>1−1
e>0
，即
g'(x)>0
，
∴
g(x)
在
(e−1,+∞)
上单调递增，即
ex
ln (x+1)>ey
ln (y+1)
，
∴当
x>y>e−1
时，有
ex−y>ln (x+1)
ln (y+1)
．
例2．已知函数 .若函数 满足下列条件：
① ；②对一切实数 ，不等式 恒成立.
(Ⅰ)求函数 的表达式；
(Ⅱ)若 对 ， 恒成立，求实数 的取 值范围；
(Ⅲ)求证： .
x
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