专题2.6二次函数的应用（1）面积问题-2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典（解析版）【北师大版】

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2020-2021 学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题 2.6 二次函数的应用（1）面积问题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分 100 分，试题共 24 题，其中选择 10 道、填空 8 道、解答 6 道．答卷前，考生务必用 0.5 毫
米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2019 春•西湖区校级月考）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为 20m的篱笆围成．已知
墙长为 15m，若平行于墙的一边长不小于 8m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（　　）
A．48m2，37.5m2B．50m2，32m2
C．50m2，37.5m2D．48m2，32m2
【分析】设平行于墙的一边长为 xm，苗圃园面积为 Sm2，则根据长方形的面积公式写出面积的表达式，
将其写成二次函数的顶点式，根据二次函数的性质及问题的实际意义，得出答案即可．
【解析】设平行于墙的一边长为 xm，苗圃园面积为 Sm2，则
S＝x
×1
2
（20﹣x）
¿−1
2
（x220﹣x）
¿−1
2
（x10﹣）2+50 （8≤x≤15）
∵
−1
2＜
0
∴S有最大值，x＝10＞8时，S最大＝50
∵墙长为 15m
∴当 x＝15 时，S最小
S最小＝15
×1
2
×
（20 15﹣）＝37.5
∴这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为 50m2，37.5m2．
故选：C．
2．（2019•宝安区二模）如图，小明想用长为 12 米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园
ABCD，则矩形 ABCD 的最大面积是（　　）平方米．
A．16 B．18 C．20 D．24
【分析】设 AB 为x米，则 BC＝12 2﹣x，即可求面积
【解析】
设AB＝x，则 BC＝12 2﹣x
得矩形 ABCD 的面积：S＝x（12 2﹣x）＝﹣2x2+12＝﹣2（x3﹣）2+18
即矩形 ABCD 的最大面积为 18 平方米
故选：B．
3．（2019•桥西区校级模拟）如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点 P从点 A开始沿
边AB 向B以1cm/s的速度移动（不与点 B重合），动点 Q从点 B开始沿边 BC 向C以2cm/s的速度移动
（不与点 C重合）．如果 P、Q分别从 A、B同时出发，那么经过（　　）秒，四边形 APQC 的面积最
小．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等量关系“四边形 APQC 的面积＝三角形 ABC 的面积﹣三角形 PBQ 的面积”列出函数关
系求最小值．
【解析】设 P、Q同时出发后经过的时间为 ts，四边形 APQC 的面积为 Scm2，则有：
S＝S△ABC﹣S△PBQ
¿1
2
×
12×6
−1
2
（6﹣t）×2t
＝t26﹣t+36
＝（t3﹣）2+27．
∴当 t＝3s时，S取得最小值．
故选：C．
4．（2018 秋•大观区校级月考）用长度为 8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大
透光面积为（　　）m2．
A．
B．
8
3
C．2 D．4
【分析】设宽为 xm，则长为
8−3x
2
m，可得面积 S＝x•
8−3x
2=−3
2
x2+4x，即可求解．
【解析】设宽为 xm，则长为
8−3x
2
m，
可得面积 S＝x•
8−3x
2=−3
2
x2+4x，
当x
¿4
3
时，S有最大值，最大值为
−16
4×(−3
2)
=8
3
故选：B．
5．（2019•保定三模）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并
在如图所示的三处各留 1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 27m，则能建成的
饲养室面积最大为（　　）
A．75m2B．
75
2
m2
C．48m2D．
225
2
m2
【分析】设垂直于墙的材料长为 x米，则平行于墙的材料长为 27+3 3﹣x＝30 3﹣x，表示出总面积 S＝
x（30 3﹣x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x5﹣）2+75 即可求得面积的最值．
【解析】设垂直于墙的材料长为 x米，
则平行于墙的材料长为 27+3 3﹣x＝30 3﹣x，
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