专题2.6 欲证不等恒成立，差值函数求值域-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（原卷版）

3.0 envi 2025-05-05 4 4 214.6KB 5 页 3知币
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【 题型综述 】
利用导数解决不等式恒成立问题的策略：
构造差函数 ．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调
性得不等量关系，进而证明不等式．
具体做法如下：
首先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进 而得出相应含参不等式，从
而求出参数的取值范围，也可以分离变量 ， 构造函数，直接 把问 题转化为函数的最值问 题．
[来源:学§科§网]
证明 ， 时，可以构造函数 ，如果 ，则
在 上是减函数，同时若 ，由减函数的定义可知，当 时，有
，即证明 ．
【典例指引】
例1．已知函数 ， 为其导函 数.[来源:学+科+网]
( 1) 设 ，求函数 的单调区间；
(2) 若 ， 设 ， 为 函 数 图 象 上 不 同 的 两 点 ， 且 满 足
，设线段 中点的横坐标为 证 明： .
例2．已知定义域为 的函数 存在两个零点．
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 ， 求证： ．
例3．已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若关于 的不等式 恒成立，证明： 且 ．
【新题展示】
1．【2019 福建三明期末】已知函数 .
（1）求证： ；
（2）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
2．【2019 陕西渭南质检】已知函数 为常数 的图象与 y轴交于点 A，曲线 在点 A处的切
线斜率为 ．
（1）求 a的值及函数 的单调区间；
（2）设 ，证明：当 时， 恒成立．
3．【2019 北京丰台区上学期期末】已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求证：当 时， ．
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