专题2.6 欲证不等恒成立，差值函数求值域-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）
【 题型综述 】
利用导数解决不等式恒成立问题的策略：
构造差函数 ． 根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调
性得不等量关系，进而证明不等式．
具体做法如下：
首先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应含参不等式，从
而求出参数的取值范围，也可以分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
证明 ， 时，可以构造函数 ，如果 ，则
在 上是减函数，同时若 ，由减函数的定义可知，当 时，有
，即证明 ．
【典例指引】
例1．已知函数 ， 为其导函 数.
(1) 设 ，求函数 的单调区间；
(2) 若 ， 设 ， 为 函 数 图 象 上 不 同 的 两 点 ， 且 满 足
，设线段 中点的横坐标为 证明： .
【思路引导】
（1）求出函数的导数，通过讨论 的范围，得增区间， 得减区间即可；（2）问题
转化为证明 令
，根据函数单调性证明即可.
(2) 法一：
，故 在定义域 上单调递增.
只需证： ，即证 (*)
注意到 不妨设 .
令 ，
则 ，从而 在 上单减，
故 ， 即得(*)式.学&科网
法二：(2) 故 在定义域 上单调递增.
注意到 且
故 ，且等号仅在 处取到. 所以 与 图象关系如下：
取 ，则显然有 , 从而 ，
另外由三次函数 的中心对称性可知 ，则有 .学&科网
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及不等式证明问题.属于难题.分类讨论思
想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题
发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研 究透，这样才能快速
找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握
并应用与解题当中.
例2．已知定义域为 的函数 存在两个零点．
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