专题2.5 最值位置不迷惑，单调区间始与末-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

3.0 envi 2025-05-05 4 4 1.71MB 23 页 3知币

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【题型综述】

函数的最值

函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我

们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必

有最大值与最小值.

设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：

（1）求在内的极值；

（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的

一个是最小值.

函数的最值与极值的关系

（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；

（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个

（或者没有）；

（3）函数

(

)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；

（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.

【典例指引】 [ 来源 :Zxxk.Com]

例1．已知函数 .

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

【思路引导】

（1）求切线方程首先求导，然后将切点的横坐标代入导函数得切线斜率，然后根据点斜式写直线方程即

可，（2）求函数在某区间的最值问题，先求出函数的单调区间，然后根据函数在所给区间的单调性确定

最值的取值地方从而计算得出最值

点评：对于导数的几何意义的应用问题，特别是导数切线方程的求法一定要做到非常熟练，这是必须得分

题，而对于函数最值问题首先要能准确求出函数的单调区间，然后根据所给区间确定函数去最值的点即可

得到最值

例2．设函数 .

(1)关于的方程在区间上有解，求的取值范围；

(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.

【思路引导】

（1）方程等价于，利用导数研究函数的单调性，结合函数

图象可得的取值范围；（ 2）恒成立等价于

恒成立，两次求导，求得的最小值为零，从而可得实

数的取值范围.学*科网

试题解析：（1）方程即为，令，

则，当时，随变化情况如表：

↗极大值 ↘

，当时，，

的取值范围是 .

例3．已知函数的一个极值为．

（1）求实数的值；

（2）若函数在区间上的最大值为 18，求实数的值．

【思路引导】

（1）由题意得，函数有两个极值为和令，从而

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