专题2.5 方案问题与最大利润-2020-2021学年八年级数学下学期期末复习宝典（北师大版）（解析版）

3.0 envi 2025-05-05 4 4 24.81KB 8 页 3知币
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1．（2020 怀化）某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共 20 台，已知甲型平板电脑进价 1600
元，售价 2000 元；乙型平板电脑进价为 2500 元，售价 3000 元．
（1）设该商店购进甲型平板电脑 x台，请写出全部售出后该商店获利 y与x之间函数表达式．
（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过 39200 元，全部售出所获利润不低于 8500 元，请设计
出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．
【分析】（1）根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可；
（2）根据题意列不等式组，求出解集，根据解集即可得到四种采购方案，由（1）的函数关系式得到当
x取最小值时，y有最大值，将 x＝12 代入函数解析式求出结果即可．
【解析】（1）由题意得：y＝（2000 1600﹣ ）x+（3000 2500﹣ ）（20﹣x）＝﹣100x+10000，
∴全部售出后该商店获利 y与x之间函数表达式为 y＝﹣100x+10000；
（2）由题意得：
{
1600 x+2500(20− x)≤39200
400 x+500 (20− x)≥8500
，
解得 12≤x≤15，
∵x为正整数，
∴x＝12、13、14、15，
共有四种采购方案：
①甲型电脑 12 台，乙型电脑 8台，
②甲型电脑 13 台，乙型电脑 7台，
③甲型电脑 14 台，乙型电脑 6台，
④甲型电脑 15 台，乙型电脑 5台，
∵y＝﹣100x+10000，且﹣100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当 x取最小值时，y有最大值，
即x＝12 时，y最大值＝﹣100×12+10000＝8800，
∴采购甲型电脑 12 台，乙型电脑 8台时商店获得最大利润，最大利润是 8800 元．
2．（2020 聊城）今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的 A，B两种树苗，每捆 A种树苗比每捆
B种树苗多 10 棵，每捆 A种树苗和每捆 B种树苗的价格分别是 630 元和 600 元，而每棵 A种树苗和每棵
专题 2.6 方案问题与最大利润
B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的 0.9 倍和 1.2 倍．
（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
（2）如果购进的这批树苗共 5500 棵，A种树苗至多购进 3500 棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，
应购进 A种树苗和 B种树苗各多少棵？并求出最低费用．
【分析】（1）设这一批树苗平均每棵的价格是 x元，根据题意列方程解答即可；
（2）分别求出 A种树苗每棵的价格与 B种树苗每棵的价格，设购进 A种树苗 t棵，这批树苗的费用为 w
元，根据题意求出 w与t的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【解析】（1）设这一批树苗平均每棵的价格是 x元，根据题意列，得：
630
0.9 x−600
1.2 x=10
，
解这个方程，得 x＝20，
经检验，x＝20 是原分式方程的解，并符合题意，
答：这一批树苗平均每棵的价格是 20 元；
（2）由（1）可知 A种树苗每棵的价格为：20×0.9＝18（元），B种树苗每棵的价格为：20×1.2＝24
（元），
设购进 A种树苗 t棵，这批树苗的费用为 w元，则：
w＝18t+24（5500﹣t）＝﹣6t+132000，
∵w是t的一次函数，k＝﹣6＜0，
∴w随t的增大而减小，
又∵t≤3500，
∴当 t＝3500 棵时，w最小，
此时，B种树苗每棵有：5500 3500﹣＝2000（棵），w＝﹣6×3500+132000＝111000，
答：购进 A种树苗 3500 棵，BA 种树苗 2000 棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为
111000 元．
3．（2020•怀化）某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共 20 台，已知甲型平板电脑进价 1600
元，售价 2000 元；乙型平板电脑进价为 2500 元，售价 3000 元．
（1）设该商店购进甲型平板电脑 x台，请写出全部售出后该商店获利 y与x之间函数表达式．
（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过 39200 元，全部售出所获利润不低于 8500 元，请设计
出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．
【分析】（1）根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可；
（2）根据题意列不等式组，求出解集，根据解集即可得到四种采购方案，由（1）的函数关系式得到当
x取最小值时，y有最大值，将 x＝12 代入函数解析式求出结果即可．
【解析】（1）由题意得：y＝（2000 1600﹣）x+（3000 2500﹣）（20﹣x）＝﹣100x+10000，
∴全部售出后该商店获利 y与x之间函数表达式为 y＝﹣100x+10000；
（2）由题意得：
{
1600 x+2500(20− x)≤39200
400 x+500 (20− x)≥8500
，
解得 12≤x≤15，
∵x为正整数，
∴x＝12、13、14、15，
共有四种采购方案：
①甲型电脑 12 台，乙型电脑 8台，
②甲型电脑 13 台，乙型电脑 7台，
③甲型电脑 14 台，乙型电脑 6台，
④甲型电脑 15 台，乙型电脑 5台，
∵y＝﹣100x+10000，且﹣100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当 x取最小值时，y有最大值，
即x＝12 时，y最大值＝﹣100×12+10000＝8800，
∴采购甲型电脑 12 台，乙型电脑 8台时商店获得最大利润，最大利润是 8800 元．
4．（2020•达州）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：
原进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套）
餐桌 a380 940
餐椅 a140﹣160
已知用 600 元购进的餐椅数量与用 1300 元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中 a的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的 5倍还多 20 张，且餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张．
若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎
样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）根据数量＝总价÷单价，即可得出结论，解之经检验后即可得出 a值；
（2）设购进餐桌 x张，则购进餐椅（5x+20）张，由餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张，可得出关于 x
的一元一次不等式，解之即可得出 x的取值范围，设销售利润为 y元，根据销售方式及总利润＝单件
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