专题2.1 利用基本不等式求最值（特色专题卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版）-2021-2022学年高一数学特色专题卷

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专题 2.1 利用基本不等式求最值（特色专题卷）
考试时间：120 分钟；满分：150 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共 22 题，单选 8题，多选 4题，填空 4题，解答 6题，满分 150 分，限时 150 分钟，试卷紧扣教材，
细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
一．选择题（共 8小题，满分 40 分，每小题 5分）
1．（2020 秋•西湖区月考）若正数 a，b满足 a+b＝6，则 ab 的最大值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．9
【分析】利用基本不等式即可得出 ab 的最大值．
【解答】解：∵正数 a，b满足 a+b＝6，
∴ab
≤¿
9，当且仅当 a＝b＝3时取等号．
则ab 的最大值为 9．
故选：D．
2．（2021•山东模拟）已知 x＞3，y＝x
+1
x−3
，则 y的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】x
+1
x−3=¿
x3﹣
+1
x−3+¿
3，由基本不等式可知 y≥5，即可得最小值．
【解答】解：因为 y＝x
+1
x−3=¿
x3﹣
+1
x−3+¿
3，又因为 x＞3，所以 x3﹣＞0，
所以 y≥5，当且仅当 x＝4时，等号成立，
故选：D．
3．（2021 春•湛江期末）若 x＞1，则 4x+1
+1
x−1
的最小值等于（　　）
A．6 B．9 C．4 D．1
【分析】由 4x+1
4（x1﹣）
+1
x−1+¿
5，利用基本不等式即可求解．
【解答】解：由 x＞1，得 x1﹣＞0，
∵4x+1
4（x1﹣）
+1
x−1+¿
5≥2
❑
√
4+¿
5＝9，
当且仅当 4（x1﹣）
¿1
x−1
，
即x
¿3
2
时，等号成立．
故选：B．
4．（2021•青羊区校级开学）已知 x＞0，y＞0，且 2x+8y＝xy，则 x+y的最小值是（　　）
A．10 B．15 C．18 D．23
【分析】由题意化简可得
8
x+2
y=¿
1，再化简 x+y＝（x+y）（
8
x+2
y
）
¿8y
x+2x
y+¿
10，从而利用基本
不等式求最值．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，2x+8y＝xy，∴
2
y+8
x=¿
1，
∴x+y＝（x+y）（
8
x+2
y
）
¿8y
x+2x
y+¿
10≥2
❑
√
16+¿
10＝18，
（当且仅当
8y
x=2x
y
，即 x＝12，y＝6时，等号成立）
故选：C．
5．（2021•东湖区校级开学）下列各题中结论正确的是（　　）
A．当 x＞1时，x
+1
x≥
2 B．当 x＞0时，
❑
√
x+1
❑
√
x≥
2
C．当 x＞2时，
❑
√
x+2
❑
√
x≥
2
❑
√
2
D．当 0＜x＜1时，x
+1
x≥
2
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及函数的单调性，即可求解．
【解答】解：当 x＞0时，
x+1
x≥2❑
√
x⋅1
x=2
，当且仅当
x=1
x
，即 x＝1时等号成立，
∵x＞0且x≠1，
∴x
+1
x
的最小值为 2不成立，故 A、D错；
当x＞0时，
❑
√
x＞
0，
❑
√
x+1
❑
√
x≥2
当且仅当 x＝1时，等号成立，故 B正确；
当 x＞2时，
❑
√
x+2
❑
√
x≥2❑
√
❑
√
x⋅2
❑
√
x=2❑
√
2
，因此当
❑
√
x=2
❑
√
x
时，即 x＝2时有最小值，而 x＞2，故 C
错误，
故选：B．
6．（2021•江阴市开学）已知 x＞1，则
x2+2
x−1
的最小值是（　　）
A．
2❑
√
3+2
B．
2❑
√
3−2
C．
2❑
√
3
D．2
【分析】化简
x2+2
x−1=x2−2x+2x+2
x−1=¿
x1﹣
+3
x−1+¿
2，结合 x＞1，利用基本不等式求最值即可．
【解答】解：∵x＞1，∴x1﹣＞0．
∴
x2+2
x−1=x2−2x+2x+2
x−1
¿x2−2x+1+2(x−1)+3
x−1
¿(x−1)2+2(x−1)+3
x−1
¿x−1+3
x−1+2≥2❑
√
3+2
，
（当且仅当
x−1=3
x−1
，即
x=❑
√
3+1
时，等号成立）．
故选：A．
7．（2021 秋•沙坪坝区校级月考）若 x＞0，y＞0且x+y＝xy，则
x
x−1+2y
y−1
的最小值为（　　）
A．3 B．
5
2+❑
√
6
C．
3+❑
√
6
D．
3+2❑
√
2
【分析】先把 x+y＝xy 转化为
1
x+1
y=¿
1，再将
x
x−1+2y
y−1=¿
2x+y，根据基本不等式即可求出．
【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+y＝xy，
∴
1
x+1
y=¿
1，
∴
x
x−1+2y
y−1=xy−x+2xy−2y
(x−1)( y−1)=2x+y
xy−x−y+1=¿
2x+y＝ （ 2x+y） （
1
x+1
y
） ＝ 3
+2x
y+y
x≥
3+2
❑
√
2x
y⋅y
x=¿
3+2
❑
√
2
，
当且仅当
2x
y=y
x
，即 x＝1
+❑
√
2
2
，y＝1
+❑
√
2
时取等号，
故
x
x−1+2y
y−1
的最小值为 3+2
❑
√
2
，
故选：D．
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