专题2.1 导数起源于切线，曲切联系需熟练-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

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【题型综述】

导数的几何意义：

函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即

．

【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点 P(x0，y0)，求曲线过点 P的切线，则需分点 P(x0，y0)是切

点和不是切点两种情况求解．

（1）当点 P(x0，y0)是切点时，切线方程为 y−y0=f ′(x0)(x−x0)；

（2）当点 P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：

第一步：设出切点坐标 P′(x1，f (x1))；

第二步：写出过 P′(x1，f (x1))的切线方程为 y−f (x1)=f ′ (x1)(x−x1)；

第三步：将点 P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出 x1；

第四步：将 x1的值代入方程 y−f (x1)=f ′(x1)(x−x1)，可得过点 P(x0，y0)的切线方程．

求曲线 y=f (x)的切线方程的类型及方法

（1）已知切点 P(x0, y0)，求 y=f (x)过点 P的切线方程：求出切线的斜率 f ′ (x0)，由点斜式写出方程；

（2）已知切线的斜率为 k，求 y=f (x)的切线方程：设切点 P(x0, y0)，通过方程 k=f ′(x0)解得 x0，再由点

斜式写出方程；

（3）已知切线上一点(非切点)，求 y=f (x)的切线方程：设切点 P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率 f ′

(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，最后由点斜式或两点式写出方程．

（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的

斜率，再由 k=f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程．

（5）①在点 P处的切线即是以 P为切点的切线，P一定在曲线上．

②过点 P的切线即切线过点 P，P不一定是切点．因此在求过点 P的切线方程时，应首先检验点 P是

否在已知曲线上．

【典例指引】

例1．（2013 全国新课标Ⅰ卷节选）已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线 y＝f(x)和曲线 y＝

g (x)都过点 P(0，2)，且在点 P处有相同的切线 y＝4x+2．

（Ⅰ）求 a，b，c，d的值．

简析：（ Ⅰ ）由已知得，而 =，=

，∴ =4，=2，=2，=2；学科&网

例2．设函数．

（1）当时，求函数在区间上的最小值；

（2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交于点，

求证：．

axxf  2

)(

1a)()( xxfxg ]1,0[

0a)(xfy )))((,( 111 axxfxP 

l l

)0,( 2

axx  21

例3．已知函数在点处的切线方程为．

⑴求函数的解析式；

⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；

⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

[来源:Z&xx&k.Com]

⑶因为点不在曲线上，所以可设切点为．

则．

因为，所以切线的斜率为．[来源:学_科_网]

则=，

即．学科&网

   

3 2

3 ,f x ax bx x a b R   

 

1, 1f

2 0y 

 

f x

 

2, 2

1 2

,x x

   

1 2

f x f x c 

  

2, 2M m m 

 

y f x

  

2, 2M m m 

 

y f x

 

0 0

,x y

0 0 0

3y x x 

 

0 0

3 3f x x

 

3 3x

0 0

x x m

 



3 2

0 0

2 6 6 0x x m   

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