专题2.1 不等关系与不等式性质（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

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专题 2.1 不等关系与不等式性质（知识讲解）

【学习目标】

1．理解不等式的意义，能用不等关系符号刻画现实世界中的数量关系.

3. 掌握不等式的三条基本性质，并能简单应用.

【要点梳理】

要点一、不等式的概念

一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用

“≠”表示不等关系的式子也是不等式．

特别说明：

(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．

(2)五种不等号的读法及其意义：

符号读法意义

“≠” 读作“不等于”

它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪

个大，哪个小

“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小

“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大

“≤”

读作“小于或等

于”

即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量

“≥”

读作“大于或等

于”

即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量

(3)有些不等式中不含未知数，如 3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如 2x＞5中，

x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符

合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．

要点二、不等式的基本性质

不等式的基本性质 1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．

用式子表示：如果 a＞b，那么 a±c＞b±c．

不等式的基本性质 2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

用式子表示：如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc(或 )．

不等式的基本性质 3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

用式子表示：如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc(或 )．

特别说明：

不等式的基本性质的掌握注意以下几点：

(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条

性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．

(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质 2 和性质 3 的区别，在乘(或

除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．

【典型例题】

类型一、不等式的概念

1．用不等式表示：

（1）a与2的和是正数．（2）x与y的差小于 3．

（3）x，y两数和的平方不小于 4．（4）x的一半与 y的2倍的和是非负数．

【答案】

（1）a+2＞0 （2）x-y＜3 （3）(x+y)2≥4 （4）x+2y≥0

【分析】

结合不等式的定义以及题意列不等式即可．

（1）因为正数都大于 0，所以“a与2的和是正数”可表示为：a+2＞0

（2）“x与y的差小于 3”可表示为：x-y＜3

（3）因为“不小于 3”就是“大于或等于”，

所以“x，y两数和的平方不小于 4”可表示为：(x+y)2≥4

（4）因为“非负数”就是“正数或 0”，

所以“x的一半与 y的2倍的和是非负数”可表示为： x+2y≥0

【点拨】本题考查了列不等式，用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不

等式．如，像这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式．注意①常见

的符号有“＞、＜、≠、≥、≤”，分别读作“大于、小于、不等于、大于或等于、小于

或等于”．其中“≥”又读作“不小于”，“≤”又读作“不大于”．②在不等式“

”或“ ”中，a叫不等式的左边，b叫不等式的右边．③在列不等式时，一定要

注意表示不等式关系的关键词，如：正数、非负数、不大于、至少等．

举一反三：

【变式 1】有两种商品其单价总和超过 100 元，且甲商品的单价是乙商品单价的 2倍少

10 元，设未知数，并用不等式表示出上述关系；

【答案】设乙商品的价格为 x元，x+2x-10＞100

【分析】设乙商品的价格为 x元，表示出甲商品的价格，然后根据两商品的单价总和

超过 100 元，列不等式即可．

解：设乙商品的价格为 x元，则甲商品的价格为（2x-10）元，

由题意得，x+2x-10＞100．

即不等式为：x+2x-10＞100．

【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，

弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不

等式．

【变式 2】通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄；通常规定以

树干离地面1.5 米的地方作为测量的部位，某棵树栽种时的树围为5cm，以后树围每年增

加约3cm，这棵树至少生长多少年，其树围才能超过 2.4m？根据题意，完成下面填空：

（1）题目涉及的两个有关系的量，分别是：_____________________________；

（2）设生长年份为x，则树围用x表示为：__________________；

（3）用文字叙述生长年份与树围满足的不等关系是：____________________________

__；

（4）用适当的不等号表示（3）中的不等关系：___________________________；

【答案】（1）生长年份，树围；（2）5+3x；（3）这棵树生长 x年，其树围才能超过

2.4m；（4）5+3x>240

【分析】

（1）由题可知两个有关系的量分别是生长年份和树围；

（2）栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm，可知 x年后，树围为

(5+3x)m；

（3）这棵树生长 x年，其树围才能超过 2.4m；

（4）由题意可得 5+3x>2.4×100.

解：（1）由题可知两个有关系的量分别是生长年份和树围；

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