专题2 求数列的前n项和 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)(原卷版)

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求数列的前
n
项和
求数列的前
n
项和
Sn
是数列中常考的一大专题，其方法有公式法、倒序相加(乘)法、分组求和法与裂项相消
法等，在掌握这些方法的时候要注意方法的适用范围，其中的计算量有些大，技巧性也较强，需要多加以
理解与总结.
【方法一】公式法
若已知数列是等差或等比数列，求其前
n
项和可直接使用对应的公式；若求和的式子对应某些公式，也可
以直接使用.常见如下
(1)
等差数列求和公式
Sn=n
(
a1+an
)
2=na1+n
(
n−1
)
2d
(2)
等比数列求和公式
Sn=
{
n a1∧,q=1
a1
(
1−qn
)
1−q∧, q ≠ 1
(3)
(4)
13+23+33+⋯+n3=
[
n
(
n+1
)
2
]
2
.
【典题 1】求和式
3+6+12+…+3∙2n−2
，先思考它是几项之和再求和.
【典题 2】已知等比数列
{an}
前
n
项和为
Sn
，且
Sn=an+1−1
32 (n∈N¿)
．
(1)
求数列
{an}
的通项公式；
(2)
若
bn=log2an
，求数列
{∨bn∨}
的前
n
项和
Tn
．
巩固练习
1 (★★) 求和式
1+4+7+…+(3n+1)
.
2 (★★) 已知
{an}
是等差数列，公差
d ≠ 0
，
a1=1
，且
a1, a3, a9
成等比数列，求数列
{2an}
的前
n
项和
Sn
．
3 (★★) 已知等差数列
{an}
前三项的和为
－3
，前三项的积为
15
，
(1)
求等差数列
{an}
的通项公式；
(2)
若公差
d>0
，求数列
{∨an∨}
的前
n
项和
Tn
．
4 (★★★) 设
{an}
是公比大于
1
的等比数列，
Sn
为数列
{an}
的前
n
项和．已知
S3=7
，且
a1+3
，
3a2
，
a3+4
构
成等差数列．
(1)
求数列
{an}
的等差数列．
(2)
令
bn=lna3n+1
，求数列
{bn}
的前
n
项和
Tn
．
【方法二】 倒序相加(乘)法
1 对于某个数列
{an}
，若满足
a1+an=a2+an−1=…=ak+an−k+1
，则求前
n
项和
Sn
可使用倒序相加法.
具体解法：设
Sn=a1+a2+…+an−1+an
①
把①反序可得
Sn=an+an−1+…+a2+a1
②
由①
+¿
②得
2Sn=
(
a1+an
)
+
(
a2+an−1
)
+…+
(
an−1+a2
)
+
(
an+a1
)
⇒Sn=(a1+an)n
2
.
2 对于某个数列
{an}
，若满足
a1an=a2an−1=…=akan−k+1
，则求前
n
项积
Tn
可使用倒序相乘法.具体解法类
同倒序相加法.
【典题 1】 设
f(x)= 1
4x+2
，利用课本中推导等差数列前
n
项和的公式的方法，可求得
f(－3)+f(－2)+…+f(0)+…+f(3)+f(4)
的值为　 　．
【典题 2】 求
sin21∘+sin22∘+sin23∘+…+sin288∘+sin289∘
的值
【典题 3】 设函数
f
(
x
)
=2x
2x+❑
√
2
的图象上两点
P1(x1, y1)
、
P2(x2, y2)
，若
⃗
OP=1
2(
⃗
O P1+
⃗
O P2)
，且点
P
的横坐标为
1
2
．
(1)求证：
P
点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
(2)求
Sn=f
(
1
n
)
+f
(
2
n
)
+…+f(n−1
n)+f(n
n)
.
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