专题2 求数列的前n项和 -【高分突破系列】2021-2022学年高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019选择性必修第二、三册)(解析版)

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求数列的前
n
项和
求数列的前
n
项和
Sn
是数列中常考的一大专题，其方法有公式法、倒序相加(乘)法、分组求和法与裂项相消
法等，在掌握这些方法的时候要注意方法的适用范围，其中的计算量有些大，技巧性也较强，需要多加以
理解与总结.
【方法一】公式法
若已知数列是等差或等比数列，求其前
n
项和可直接使用对应的公式；若求和的式子对应某些公式，也可
以直接使用.常见如下
(1)
等差数列求和公式
Sn=n
(
a1+an
)
2=na1+n
(
n−1
)
2d
(2)
等比数列求和公式
Sn=
{
n a1∧,q=1
a1
(
1−qn
)
1−q∧, q ≠ 1
12+22+32+⋯+n2=n
(
n+1
) (
2n+1
)
6
(4)
13+23+33+⋯+n3=
[
n
(
n+1
)
2
]
2
.
【典题 1】求和式
3+6+12+…+3∙2n−2
，先思考它是几项之和再求和.
【解析】和式
3+6+12+…+3∙2n−2
相当于数列
3、6、12、…、3∙2n−2
的和，
显然它是首项
a1=3
，公比
q=2
的等比数列，设前
n
项和为
Sn
，
故
an=a1∙ qn−1=3∙2n−1
，
而和式最后一项是
3∙2n−2=an−1
，是第
n−1
项，
故和式
3+6+12+…+3∙2n−2
只有
n−1
项而已，
则
3+6+12+…+3∙2n−2
(切勿想当然和式等于
Sn
)
¿Sn−1=a1
(
1−qn−1
)
1−q=3
(
1−2n−1
)
1−2=3
(
2n−1−1
)
.
【点拨】求和式时特别要注意确定项数，以第一个数为首项，判断最后一项为第几项(第
n
项、第
n−1
项？)
便可.
【典题 2】已知等比数列
{an}
前
n
项和为
Sn
，且
Sn=an+1−1
32 (n∈N¿)
．
(1)
求数列
{an}
的通项公式；
(2)
若
bn=log2an
，求数列
{∨bn∨}
的前
n
项和
Tn
．
【解析】(1)由于
Sn=an+1−1
32
①，
当
n=1
时，
S1=a2−1
32 ⇒a2=a1+1
32
，
当
n ≥ 2
时，
Sn−1=an−1
32
②，
①－②得
an=an+1－an
，即
an+1=2an(n ≥2)
∵
数列
{an}
为等比数列，
∴a2=2a1
，又
a2=a1+1
32
，解得
a1=1
32
．
故数列
{an}
是以
1
32
为首项，
2
为公比的等比数列，
所以
an=2n−6
．
(2)
bn=log2an=n－6
，所以
¿bn∨¿
{
6−n , n<6
n−6, n ≥ 6
，
(遇到绝对值，则可利用
|
x
|
=
{
x , x ≥ 0
−x , x <0
去掉绝对值，则求前
n
项和
Tn
时要注意分类讨论)
当
n<6
时，
Tn=−b1−b2−⋯−bn=−
(
b1+b2+⋯+bn
)
¿−
[
−5n+n
(
n−1
)
2
]
=−n2−11 n
2=11 n−n2
2
．
(
bn=n−6
是等差数列，可由前
n
项和公式
Sn=na1+n
(
n−1
)
2d
得
b1+⋯+bn=n2−11 n
2
)
当
n ≥ 6
时，
Tn=−b1−⋯−b5+b6+⋯+bn
¿
(
b1+b2+⋯+bn
)
−2
(
b1+⋯+b5
)
¿n2−11 n
2−2×52−11 ×5
2=n2−11n
2+30
，
∴Tn=
{
11 n−n2
2, n<6
n2−11 n
2+30 , n ≥ 6
．
【点拨】当确保数列为等差数列或等比数列，便可直接使用对应的前
n
项和公式，这需要明确等差数列通
项公式形如
an=kn+b
，等比数列通项公式形如
an=A ∙ Bn
.
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