专题2 平面向量-【满分冲刺】2021-2022学年高一数学下学期期末必考重点题型技法突破（人教A版2019必修第二册）（解析版）

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平面向量
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1． 向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量；向量的
大小叫作向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量 长度为零的向量；其方向是任意
的记作 0
单位向量 长度为单位
1
的向量 非零向量 a的单位向量为±
平行向量
如果表示两个向量的有向线段所
在的直线平行或重合，则称这两
个向量平行或共线
0与任一向量平行或共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不
能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为 0
2、向量的数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数 λ与向量 a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作 λa，它的长
度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当 λ＞0时，λa与a的方向相同；当 λ＜0时，λa与a的方向相反；当 λ＝0时，λa＝
0.
(2)运算律：设 λ，μ是两个实数，则
①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb.
3． 向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义)运算律
加法 求两个向量
和的运算
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a
＋(b＋c).
减法 求两个向量
差的运算
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数 λ与
向量 a的积
的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0 时，λa的方
向 与 a的 方 向 相 同 ；
当λ<0 时， λa的方向
与a的方向相反；当 λ
＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
4、向量共线的判定定理
a是一个非零向量，若存在一个实数 λ，使得 b＝λa，则向量 b与非零向量 a共线．
5．平面向量基本定理
如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且
只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量 e1，e2叫表示这一平面内所有向
量的一组基底．
6．平面向量的坐标表示
(1)在平面直角坐标系中，分别取与 x轴，y轴方向相同的两个单位向量 i，j作为基底，
a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点 O为起点作OP＝a.由平面向量基本定理可知，有
且只有一对实数 x，y，使得OP＝xi＋yj.因此 a＝xi＋yj.
我们把实数对( x ， y ) 叫作向量 a的坐标．记作 a＝(x，y)．
(2)设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标(x，y)就是终点
A
的坐标 ，即若OA＝(x，y)，则 A
点坐标为( x ， y ) ，反之亦成立．(O为坐标原点)
7．平面向量坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)，a－b＝( x 1－ x 2， y 1－ y 2)，λa＝( λx 1， λy 1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝( x 2－ x 1， y 2－ y 1)，|AB|＝.
8．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，当且仅当 x1y2－ x 2y1＝ 0
时，向量 a，b共线．
9．两个向量的夹角
(1)已知两个非零向量 a和b(如图)，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫
作向量 a与b的夹角，当 θ＝0°时，a与b同向；当 θ＝180°时，a与b反向；如果 a与b的
夹角是 90°，我们说 a与b垂直，记作 a⊥b.
(2)规定：零向量可与任一向量垂直．
10．两个向量的数量积的定义
已知两个非零向量 a与b，它们的夹角为 θ，则数量|a||b|cos θ叫作 a与b的数量积(或内
积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a＝0.
11．向量数量积的几何意义
数量积 a·b等于 a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的数量积．
12．向量数量积的性质
设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；
(2)a⊥b⇔a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当 a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别的，a·a＝|a|2或
者|a|＝；
(4)cos θ＝；
(5)|a·b|≤|a||b|.
13．向量数量积的运算律
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